¿Cuál es el orden del grupo de trenzas con n hebras, en la 2-esfera?

Question

Consideremos el grupo de trenzas de $n$ hebras en la 2-esfera. Visualmente, se trata de una trenza entre dos círculos concéntricos. ¿Cuántas trenzas diferentes hay para una $n$ ?

He intentado dibujar el diagrama de Cayley para $n=3$ que resulta tener orden 12. He aquí el diagrama, con los generadores $a,b$ teniendo inversos $A,B$ con identidad $e$ . Aquí se muestran 2 diseños diferentes del mismo gráfico.

También he intentado dibujar el diagrama de Cayley para $n=4$ pero parece ser mucho mayor.

Recordatorio de las definiciones: El grupo de trenzas en la 2-esfera con $n$ se genera mediante $s_1,\dots,s_{n-1}$ cada una de las cuales representa una trenza de cruce simple entre hebras adyacentes; esto obedece a las siguientes relaciones:

• $s_is_{i+1}s_i = s_{i+1}s_is_{i+1}$ (la "identidad de la trenza")
• $s_is_j = s_js_i$ a menos que $i =j-1$ o $i=j+1$ (cruces no adyacentes conmutan)
• $s_1s_2\dots s_{n-1}~s_{n-1}\dots s_2s_1 = e$ (una identidad especial para la 2-esfera)

Answer 1

Hay una buena razón para ello $n=4$ parece ser mucho mayor: el grupo de trenzas con $4$ hebras en el $2$ -¡la esfera es infinita!

De hecho, se sabe que para $n \geq 4$ el grupo de trenzas con $n$ hebras en el $2$ -esfera es infinita. Para una referencia, véase "Los grupos de trenzas de $E^{2}$ y $S^{2}$ " por Fadwell y Buskirk.