Una pregunta sobre la derivación de los coeficientes de Fourier

Question

Como decía el libro de texto:

Polinomios trigonométricos $$ \begin{align} f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{v=1}^{n}(a_v\cos{vx}+b_v\sin{vx}) \tag{1} \end{align} $$ Los coeficientes de Fourier pueden expresarse sencillamente mediante las siguientes fórmulas: $$ a_u=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{ux}\,dx, {\ } b_u=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{ux}\,dx. \tag{2} $$ La prueba se obtiene si multiplicamos la Ec. (1) por $\cos{ux}$ o $\sin{ux}$ y luego integrar.

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Mi derivación:

$$ \begin{align} \cos{ux}\,f(x) & = \frac{a_0}{2} \cos{ux} + \sum_{v=1}^{n}(a_v\cos{vx} \cos{ux} +b_v\sin{vx} \cos{ux}) \\ \int_{-\pi}^{\pi}\cos{ux}\,f(x)\,dx & = \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos{ux}\,dx \\ & \phantom{={}} + \sum_{v=1}^{n}\left(a_v \int_{-\pi}^{\pi}\cos{vx} \cos{ux}\,dx +b_v \int_{-\pi}^{\pi}\sin{vx} \cos{ux}\,dx\right) \end{align} $$ Según las relaciones de ortogonalidad de las funciones trigonométricas, obtenemos:

$$ \begin{align} & \int_{-\pi}^{\pi} \cos{ux}\,dx =0, \\ & \int_{-\pi}^{\pi}\cos{vx} \cos{ux}\,dx = \pi, \quad \text{if } u=v, \\ & \int_{-\pi}^{\pi}\sin{vx} \cos{ux}\,dx =0. \end{align} $$ Por lo tanto, si $u=v$ $$ \begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}\cos{ux}\,f(x)\,dx & = \sum_{v=1}^{n} a_v \int_{-\pi}^{\pi}\cos{vx} \cos{ux}\,dx = \sum_{v=1}^{n} a_v \pi \end{align} $$ No consigo entender la Ec. (2), ¿dónde está el error? Gracias.

la parte única de mi pregunta es, derivar esta ecuación: $$ \begin{align} \sum_{v=1}^{n} a_v \int_{-\pi}^{\pi}\cos{vx} \cos{ux}\,dx = a_v \pi \end{align} $$ y fue resuelto por @Ak19.

Answer 1

Para generalizar, la derivación es más fácil si se demuestra para una variable compleja; es decir $$c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx:n\in\mathbb{Z}$$

donde la expansión de Fourier es de la forma $$f(x)=\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n e^{inx}$$ .

para $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{C}$ simplemente considere $\mathbb{R}$ como subconjunto de $\mathbb{C}$ y puede utilizar este método para $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ .

Prueba:

Fijar $m\in\mathbb{Z}$ . Considera la integral:

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-imx}dx=\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n\in\mathbb{Z}}c_n e^{inx}e^{-imx}dx$$ $$=\sum_{n\in\mathbb{Z}}\int_{-\pi}^{\pi}c_n e^{inx}e^{-imx}dx.$$

Es evidente que si hay algún término exponencial residual, integrando ese término a partir de $-\pi$ à $\pi$ producirá $0$ independientemente de la magnitud del coeficiente de ese término, ya que cualquier término exponencial se refiere simplemente a una rotación, que será la misma en $-\pi$ y $\pi$ . Tenemos: $$=\cdots+0+\int_{-\pi}^{\pi}c_n dx + 0 + \cdots$$ $$=2\pi c_n,$$

dividir por $2\pi$ encontrar $c_n$ .

Esta prueba viene acompañada de una bonita visualización con epiciclos: véase aquí .

No hay ningún error en tu prueba; sólo te falta el último paso de "anulación".