¿De cuántas maneras se pueden colocar 3 torres blancas y 5 negras en un tablero de ajedrez de 8x8, de modo que ninguna pueda atacarse entre sí?

Question

He intentado averiguarlo utilizando este como ejemplo. Lo entiendo bastante bien, pero no me entra en la cabeza que haya 3 torres blancas y 5 negras en lugar de sólo 2 y 2.

Answer 1

Coloca primero las torres blancas. Hay varios casos:

1. Las tres torres blancas en la misma fila o columna. Hay $16* {8\choose 3}$ formas de hacerlo, dejando $7*5 = 35$ casillas libres para las torres negras. Así que hay $16*{8\choose3}*{35\choose5}$ posibilidades aquí.

2. Dos torres blancas en la misma fila, dos en la misma columna. (Es decir, una torre comparte fila con una de las otras dos y columna con la tercera). Hay $8 * {8 \choose 2} * 14$ formas de hacerlo, y deja $64 - 8 - 7 - 7 - 6 = 36$ casillas libres para las torres negras, así que hay $8 * {8 \choose 2} * 14*{36 \choose 5}$ posibilidades aquí.

3. Dos torres blancas en la misma fila o columna, la torre restante no comparte fila o columna con ninguna de ellas. Hay $16 * {8 \choose 2} * (64-8-7-7)$ maneras de hacerlo, y dejar $64-8-7-7-7-5 = 30$ casillas libres para las torres negras, así que $16 * {8 \choose 2}*42*{30 \choose 5}$ posibilidades aquí.

4. Las tres torres blancas en filas y columnas diferentes. Hay $(64 * 49 * 36)/6$ posibilidades, y dejar $25$ casillas libres para las torres negras, así que $64 * 49 * 6 * {25 \choose 5}$ posibilidades aquí.

El número total de posibilidades es $$16*{8\choose3}*{35\choose5} + 8 * {8 \choose 2} * 14*{36 \choose 5} + 16 * {8 \choose 2}*42*{30 \choose 5} + 64 * 49 * 6 * {25 \choose 5}$$

Answer 2

$8! {8 \choose{5}}$

Puedes permutar los números 1..8, y seleccionar 5 de las 8 torres negras.