Los orígenes de los instantones a partir de las integrales de trayectoria

Question

Sé que se pueden encontrar efectos no-perturbativos en QFT, en particular cuando la constante de acoplamiento se encuentra fuera del radio de convergencia de la serie de perturbaciones asintótica.

Desde la perspectiva de la cuantización canónica entiendo cómo y por qué surgen estos instantones. Concretamente, dan soluciones exactas (no triviales) de las ecuaciones de movimiento de la teoría interactiva completa. Éstas pueden cuantificarse canónicamente para producir un instantón cuántico.

Mi pregunta se refiere a los orígenes de los instantones a partir del enfoque de la trayectoria integral. Weinberg (en el Volumen II de su texto sobre QFT) afirma que en la teoría de perturbaciones

ampliamos la acción $S$ alrededor de los valores de vacío independientes del espaciotiempo de los campos, manteniendo el término cuadrático principal en la exponencial $\exp(iS)$

¿Qué quiere decir con esto? Nunca he hecho ninguna expansión en torno a los valores del vacío para derivar la teoría de perturbaciones de la integral de la trayectoria. ¿No se suele dividir, por ejemplo. $\exp(iS_{free})\exp(iS_{int})$ ¿y eso te da inmediatamente la serie?

Continúa diciendo que los efectos no-perturbativos

surgen porque hay puntos estacionarios de la acción que dependen del espaciotiempo

Entiendo esto en el contexto de la cuantización canónica, pero no tiene mucho sentido para mí con la trayectoria-integral. A no ser, claro, que se introduzca la aproximación de la fase estacionaria, pero desconozco su relación con la teoría de la pertubación habitual. ¡Espero que esto quede más claro una vez que el párrafo anterior tenga sentido para mí!

Answer 1

I) Esto se discute en torno a la ec. (23.7.1) en la p. 462 de la Ref. 1. La tarea consiste en realizar la integral de trayectoria

$$\tag{1} \int_{BC} [d\phi]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi]} ~=~\sum_{\nu}\int\! du \int_{BC_0} [d\phi_q]e^{\frac{i}{\hbar}S[\phi_{cl}+\phi_{\nu,u}+\phi_q]} $$ sobre campos $\phi$ con algunas condiciones de contorno (posiblemente no homogéneas) $BC$ . Esto se hace dividiendo los campos

$$\tag{2} \phi~=~\phi_{cl}+\phi_{\nu,u}+\phi_{q}$$

en las siguientes partes.

1. Una única solución clásica diferenciada $\phi_{cl}$ (en el sector trivial del instantón). La solución clásica $\phi_{cl}$ satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange con las condiciones de contorno (posiblemente no homogéneas) $BC$ .

2. Un conjunto de instantones $\phi_{\nu,u}$ etiquetados con un número topológico discreto $\nu$ y módulos continuos $u$ . Los instantones $\phi_{\nu,u}$ satisfacen las ecuaciones de Euler-Lagrange con condiciones de contorno homogéneas $BC_0$ . Los instantones surgen cuando no existe una solución única a la ecuación de Euler-Lagrange con las condiciones de contorno dadas $BC$ .

3. Y la fluctuación cuántica $\phi_q$ que satisface las condiciones de contorno homogéneas $BC_0$ .

La acción

$$\tag{3} S[\phi_{\rm cl}+\phi_{\nu,u}+\phi_q] ~=~S[\phi_{\rm cl}+\phi_{\nu,u}]+S_{2}[\phi_q]+{\cal O}((\phi_q)^3) ~\approx~S[\phi_{\rm cl}+\phi_{\nu,u}]+S_{2}[\phi_q]$$

a menudo se expande hasta el orden cuadrático (denominado $S_2$ ) en las fluctuaciones cuánticas $\phi_q$ que conduce a una integral de trayectoria gaussiana. Véase también la ec. (23.7.2) en la Ref. 1. Obsérvese que el término lineal $S_{1}[\phi_q]=0$ sur $\phi_q$ desaparece debido a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

En la teoría de perturbaciones ordinaria sin instantones, no hay suma sobre sectores de instantones ni integración sobre módulos.

II) Cabe preguntarse si la suma sobre los sectores de instantones en la ecuación (1) constituye una especie de sobreconteo de las configuraciones de campo en la integral de trayectoria. Por ejemplo, ¿no se podría reproducir un instantón no trivial incluyendo suficientes (¿todas?) correcciones cuánticas en el sector trivial, etc.?

Desde un punto de vista matemático idealizado, la necesidad de sumar sobre sectores de instantones puede verse como el hecho matemático de que no todos los $C^{\infty}$ funciones son analítica . (Hablando de analiticidad, parece pertinente mencionar el sello característico de los instantones: Los términos instantónicos (no triviales) en la función de partición tienen una dependencia no analítica de las constantes de acoplamiento de la teoría. En resumen: no se pueden reproducir efectos no perturbativos aplicando únicamente métodos perturbativos).

Sin embargo, en la práctica, la integral de trayectoria sobre las fluctuaciones cuánticas no está bien definida (mucho) más allá de la aproximación gaussiana. Así que, en la práctica, se puede considerar la descomposición en el lado derecho de la ecuación (1) como una definición pragmática de la integral de trayectoria completa en el lado izquierdo de la ecuación (1).

Referencias:

1. S. Weinberg, La teoría cuántica de campos, Vol. 2, p. 421 y p. 462.