Estoy tratando de demostrar que si tengo que $X^{*}_n \sim X_n$ y $X^{*} \sim X$ entonces $E(h(X^{*}_n)) \to E(h(X^{*}))$ implica que $E(h(X_n)) \to E(h(X))$ para $h: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función acotada y continua. Lo que traté de hacer fue reescribir la expectativa como la integral de Lebesgue con un límite por delante, y luego usar el hecho de que $X^{*}_n \sim X_n$ implica $g(X^{*}_n) \sim g(X_n)$ para funciones medibles $g$ . Sin embargo, no estoy seguro de cómo incorporar a la expectativa el CDF, que quiero utilizar para especificar la igualdad en la ley. ¿Alguien tiene alguna idea? Gracias.
Respuesta
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En primer lugar, Si X e Y son variables aleatorias con la misma distribución, demuestre que f(X) y f(Y) son variables aleatorias que tienen la misma distribución.
En segundo lugar, ¿es $h$ Medible en $(\mathbb R, \mathscr B (\mathbb R))$ ?
Si las variables aleatorias están en $(\Omega, \mathscr F, \mathbb P)$ y toman valores en $(\mathbb R, \mathscr B (\mathbb R))$ Creo que necesitamos $h$ sea medible por Borel en $(\mathbb R, \mathscr B (\mathbb R))$
Si es así:
Si $X_n^{*}$ y $X_n$ tienen la misma distribución, entonces $h(X_n^{*})$ y $h(X_n)$ tienen la misma distribución.
///ly, si $X^{*}$ y $X$ tienen la misma distribución, entonces $h(X^{*})$ y $h(X)$ tienen la misma distribución.
Por lo tanto, $E[h(X_n^{*})] = E[h(X_n)]$ y $E[h(X^{*})] = E[h(X)]$
