Equivalencia homotópica de cobertura universal

Question

Como parte de una pregunta del examen (P21F aquí ), intento demostrar que si $X$ y $Y$ son espacios conectados por caminos y localmente conectados por caminos con cubiertas universales $\widetilde{X}$ y $\widetilde{Y}$ respectivamente, si $X \simeq Y$ puis $\widetilde{X} \simeq \widetilde{Y}$ .

Puede que mi intento sea correcto, pero parece demasiado complicado y entre el batiburrillo puede que haya hecho alguna suposición incorrecta. Así que lo que busco es (a) verificación o corrección; y (b) ideas sobre cómo podría simplificar mi argumento.

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Mi argumento :

Sea $p:\widetilde{X} \to X$ y $q:\widetilde{Y} \to Y$ son los mapas de cobertura, y $X \overset{f}{\underset{g}{\leftrightarrows}} Y$ sea una equivalencia homotópica.

Fijar un punto $\widetilde{x} \in \widetilde{X}$ , dejemos que $x=p(\widetilde{x}) \in X$ y $y=f(x) \in Y$ y arreglar $\widetilde{y} \in q^{-1}(\{y\}) \subseteq \widetilde{Y}$ . Deje también que $x' = g(y) \in X$ y arreglar $\widetilde{x'} \in p^{-1}(\{x'\}) \subseteq \widetilde{X}$ .

Definir un mapa $\widetilde{f} : \widetilde{X} \to \widetilde{Y}$ como sigue. Para $\widetilde{z} \in \widetilde{X}$ deje $\widetilde{u}:[0,1] \to \widetilde{X}$ sea un camino desde $\widetilde{x}$ a $\widetilde{z}$ . Sea $z=p(z)$ para que $u=p\widetilde{u}$ es una ruta en $X$ de $x$ a $z$ . Sea $v=fu$ de modo que $v$ es una ruta en $Y$ de $y$ a $f(z)$ . Ascensor $v$ a un camino $\widetilde{v}$ en $\widetilde{Y}$ con $\widetilde{v}(0) = \widetilde{y}$ . Defina $\widetilde{f}(\widetilde{z}) = \widetilde{v}(1)$ .

Observe que $q\widetilde{v}=v$ para que $q\widetilde{f} = fp$ .

Defina $\widetilde{g}:Y \to X$ análogamente: Para $\widetilde{z} \in \widetilde{Y}$ deje $\widetilde{a}:[0,1] \to \widetilde{Y}$ sea un camino desde $\widetilde{y}$ a $\widetilde{z}$ . Sea $z=q(z)$ para que $a=q\widetilde{a}$ es una ruta en $Y$ de $y$ a $z$ . Sea $b=fa$ de modo que $b$ es una ruta en $X$ de $x'$ a $g(z)$ . Ascensor $b$ a un camino $\widetilde{b}$ en $\widetilde{X}$ con $\widetilde{b}(0) = \widetilde{x'}$ . Defina $\widetilde{g}(\widetilde{z}) = \widetilde{b}(1)$ .

Asimismo, observe que $p\widetilde{g}=gq$ .

Reclamación: $\widetilde{X} \overset{\widetilde{f}}{\underset{\widetilde{g}}{\leftrightarrows}} \widetilde{Y}$ es una equivalencia homotópica.

Tenemos $p\widetilde{g}\widetilde{f} = gq\widetilde{f}=gfp \simeq p$ y $q\widetilde{f}\widetilde{g} = fp\widetilde{g} = fgq \simeq q$ .

Esto demuestra que $\widetilde{g}\widetilde{f}$ y $\widetilde{f}\widetilde{g}$ son traslaciones de cobertura (transformaciones de cubierta) y, por tanto, son homotópicas a los respectivos mapas de identidad. Así que tenemos una equivalencia homotópica.

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Agradeceríamos cualquier comentario.

Answer 1

Esto es más un comentario largo que una respuesta. Tu manera de proceder es ciertamente correcta, pero hay que justificarla un poco más. En primer lugar, debo decir que no hay necesidad de redefinir (OMI en un examen) su $\tilde{f} : \tilde{X} \to \tilde{Y}$ . Esto ya viene dado por el criterio de elevación (Proposición 1.33 de Hatcher):

Dado un espacio de cobertura $p : (\tilde{X},\tilde{x_0}) \to (X,x_0)$ y un mapa $f : (Y,y_0) \to (X,x_0)$ con $Y$ conectada por trayectoria y localmente conectada por trayectoria. Entonces una elevación $\tilde{f} : (Y,y_0) \to (\tilde{X},\tilde{x_0})$ de $f$ existe si $f_\ast(\pi_1(Y,y_0)) \subset p_\ast (\pi_1(\tilde{X},\tilde{x_0}))$ .

Desde $\tilde{X}$ y $\tilde{Y}$ están simplemente conectados los ascensores siempre existirán. Por supuesto, su definición de cómo se define el ascensor es exactamente la que se da en Hatcher. Sin embargo, aún no has terminado, porque sólo has demostrado que $p\tilde{g}\tilde{f} \simeq p$ y $q\tilde{f}\tilde{g} \simeq q$ .

Para terminar el problema creo que puedes usar la propiedad de elevación de homotopía para decirte lo siguiente. Supongamos que la homotopía entre $q \tilde{f}\tilde{g}$ y $q$ viene dada por $F :\tilde{Y} \times I \to Y$ . Ahora la restricción de $F$ a $\tilde{Y} \times \{0\}$ ascensores a algún mapa $\tilde{Y} \times \{0\} \to \tilde{Y}$ . Por unicidad de ascensores, deducimos que este mapa debe ser $\tilde{f}\tilde{g}$ . Entonces sabemos que existe una única homotopía $\tilde{F} : \tilde{Y} \times I \to \tilde{Y}$ tal que $\tilde F|_{\tilde{Y} \times \{0\}} = \tilde{f}\tilde{g}$ y

$$q \circ \tilde{F} = F.$$

Ahora tenemos que $\tilde{F}(y,0) = \tilde{f}\tilde{g}$ , $q \tilde{F}(y,1) = F(y,1) = q$ . Sin embargo ahora tenemos por unicidad de ascensores que $\tilde{F}(y,1) = \textrm{id}_\tilde{Y}$ y así $\tilde{F}$ es una homotopía entre $\tilde{f}\tilde{g}$ y $\textrm{id}_{\tilde{Y}}$ . La prueba de que $\tilde{g}\tilde{f}$ es homotópica a $\textrm{id}_{\tilde{X}}$ es similar y hemos terminado.