¿Paradoja en cuanto a la medida de subconjuntos densos contables?

Question

Consideremos el conjunto $E=\mathbb{Q}\cap[0,1]$ y que $\{q_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ sea alguna enumeración de este conjunto contable. Para cada $\epsilon>0$ los cubos $\{Q_{j}\}_{j=1}^{\infty}$ de longitud $\ell_{j}=\frac{\epsilon}{2^{j}}$ centrado en cada $q_{i}$ cubrir claramente $E$ y tenemos $\sum_{j=1}^{\infty}|Q_{j}|=\epsilon$ . Esto implica que $m(E)=0$ .

Este ejemplo es típico. Pero ésta es mi pregunta. El cierre de $E$ es $\bar{E}=[0,1]$ . En particular, $\bar{E}\backslash E=\mathbb{I}\cap[0,1]$ . Si examinamos nuestra portada, veremos que a cada $q_{j}$ hemos colocado una vecindad de radio $\frac{\epsilon}{2^{j+1}}>0$ . Porque $A$ es denso en $[0,1]$ para cada $x\in[0,1]$ , $B(x;\delta)\cap A\neq\emptyset$ para cualquier $\delta>0$ .

En otras palabras, la colección de bolas $\{B(q_{i};\frac{\epsilon}{2^{j}})\}_{j=1}^{\infty}$ debe cubrir $[0,1]$ . Pero si así fuera, entonces contradeciría lo mostrado anteriormente.

¿Cómo se resuelve esto (para subconjuntos generales contablemente densos)?

Esta pregunta surgió de un problema relacionado en un post que hice con respecto a una pregunta en cuanto a la relación de Jordan exterior medir un conjunto $E$ y su cierre $\bar{E}$ y puede consultarse aquí: Cierre, Interior y Límite de Conjuntos Medibles de Jordan. . En concreto, quiero saber si es posible justificar " $\epsilon$ -engordar" una cubierta de $E$ a una portada de $\bar{E}$ . En otras palabras, ¿podemos finito portada $\{Q_{j}\}_{j=1}^{N}$ de $E$ por cubos de longitud $\ell_{j}$ y engordar cada cubo no más de $|Q_{j}\leq|Q'_{j}|\leq|Q_{j}|+\frac{\epsilon}{N}$ y luego reclamar $\{Q'_{j}\}_{j=1}^{N}$ es una cubierta de $\bar{E}$ ? Aparentemente esto debería ser cierto para cubiertas finitas, pero claramente no lo es para cubiertas contables debido al contraejemplo obvio presentado al principio. Pero mi justificación de por qué es cierto para cubiertas finitas se traslada a las cubiertas contables (en el sentido de que $\bar{E}\backslash E$ es una colección de puntos límite de $E$ por lo que engordar arbitrariamente una cobertura debería capturar estos puntos, de ahí que la cobertura $\bar{E}$ ).

Debe de haber algún error en mi forma de pensar, ¡y tengo que resolverlo! ¡Así que muchas gracias de antemano a cualquiera que pueda ayudarme con esto!

Answer 1

Para $\varepsilon$ lo suficientemente pequeño (digamos, por debajo de $\frac12$ ) hacemos lo siguiente, para cada $i\in\mathbb N$ deje $C_i$ sea el siguiente conjunto cerrado: $$[0,1]\setminus\bigcup_{j=0}^i B\left(q_j,\frac\varepsilon{2^j}\right)$$

Es evidente que $C_i$ es un conjunto cerrado no vacío, ya que $[0,1]$ es compacto tenemos que $C_i$ es compacto. Además, es evidente que $C_i\subseteq C_j$ para $i\geq j$ . Por tanto, se trata de una sucesión decreciente de conjuntos compactos.

El teorema de Cantor nos dice que la intersección no es vacía, por lo tanto la llamada cubierta abierta no es en realidad una cubierta abierta como sospechabas.

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La razón por la que el engorde debería funcionar para coberturas finitas y fallar para coberturas infinitas es exactamente la misma por la que hay el mismo número de racionales que de enteros; pero hay más, muchos más, números reales. Es la misma razón por la que podemos encontrar todo tipo de comportamientos extraños con conjuntos infinitos.

¡Los conjuntos infinitos son raros! La idea es que no se puede dividir un intervalo en finitamente muchos cubos que uno de ellos no es gran Pero si lo divides en infinitas partes, puedes manipular mejor los tamaños.

Por eso el hotel de Hilbert siempre puede aceptar más gente, aunque nunca haya plazas libres.

Answer 2

Se trata de una cuestión de cuantificadores. Un análisis más detallado muestra que hay una gran diferencia entre ser un conjunto denso contable y formar una cubierta abierta con cualquier bola centrada en estos puntos.

Separabilidad significa que existe un conjunto contable $D$ tal que para cada punto $x$ y cada $\epsilon>0$ hay un $y\in D$ tal que $x\in B(y,\epsilon)$ . Es decir, existe esencialmente una función $(x,\epsilon)\mapsto y(x,\epsilon)$ que asigna puntos del espacio y radios positivos a elementos de $D$ (no es necesario elegir, existe una buena ordenación de $D$ desde $D$ es contable).

Ahora, teniendo una familia contable de bolas con los puntos en $D$ como centros y unos radios fijos es diferente. Esencialmente, existe un mapa $y\mapsto \epsilon_y$ definido en $D$ . Que esto le da una cubierta abierta, significa que hay una función $x\mapsto y_x$ tal que $x\in B(y_x,\epsilon_{y_x})$ para todos $x$ . Entonces, ¿por qué puede no existir tal función?

En primer lugar, está claro que la separabilidad es más fácil de satisfacer, ya que para cualquier $x$ y $\epsilon$ podría ser que $\epsilon_{y_x}<\epsilon$ . Ahora, vemos que la similitud se rompe completamente cuando tenemos en cuenta que los cuantificadores en la condición de separabilidad dicen "Para todo $x$ y $\epsilon>0\ldots$ ". Así que tenemos que cubrir el caso $\epsilon=\epsilon_{y_x}/2$ y no hay ninguna buena razón para que haya otro punto $x'$ tal que $x\in B(x,\epsilon_{y_{x'}})$ .