Contradicción de la continuidad de Lipschitz

Question

Demuestra que $f\colon (0, \infty) \to\mathbb R$ definido por $f (x) := \frac1x$ no es continua de Lipschitz. Tengo lo siguiente:

$$\left|\frac1x - \frac1y\right| = \left|\frac{y-x}{xy}\right| = \frac1{xy}\cdot |x-y|$$ Sé que hacer el denominador $xy$ tan pequeño como sea posible hará que el cociente who sea suficientemente grande, sin embargo estoy teniendo problemas para conceptualizar por qué esto causa una contradicción en la definición de Lipschitz continua.

Answer 1

En la definición de función Lipschitz leemos $$\exists L\ge 0:\, \forall x\,\forall y \, |f(x)-f(y)|\le L|x-y|.$$

Si tal $L$ existiera para nuestro caso, entonces tomaríamos $x,y\le \frac {1}{2}\sqrt {1/L}$ para obtener

$$|f(x)-f(y)|=\frac{|x-y|}{xy}\ge 4L|x-y|,$$ lo cual es una contradicción.

Answer 2

Alternativamente, puede observar que

$ |f(x) - f(y) | = \frac{1}{xy} |x - y| \le L | x - y | $ IFF

$ \exists L \ge \frac{1}{xy} $

pero el dominio permite $ x \rightarrow 0 $ para que L no exista