¿Cuál es el valor de la siguiente suma?
$$\sum_{i=1}^{2000}\gcd(i,2000)\cos\left(\frac{2\pi\ i}{2000}\right)$$
donde
- $\gcd$ es el máximo común divisor.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Respuesta la suma equivale a $\varphi(2000)=800$ .
¿Por qué?
Reclamación :
Para cualquier número entero positivo $n$ que tenemos: $$\varphi(n)=\sum_{i=1}^{n}\gcd(i,n)\cos\left(\frac{2\pi\ i}{n}\right) \tag 1$$ donde $\varphi(n)$ es la función totiente de Euler
Prueba
Sea $\zeta_n := e^{\frac{2\pi i}{n}}$ defina la función $s$ para cada número entero positivo $n$ por : $$ \displaystyle s(n) := \sum_{\substack{1\leq k\leq n\\ \gcd(k,n)=1}}\zeta_n^k \tag 2$$
esto es, por supuesto, la suma de todas las primitivas $n$ -raíces de la unidad. Puesto que cada $n$ -enésima raíz de la unidad es una primitiva $d$ -enésima raíz de la unidad para algún divisor $d$ de $n$ tenemos, para todos los enteros positivos $n$ : $$\displaystyle \sum_{d|n} s(d) = \sum_{k=1}^n \zeta_n^k = \begin{cases} 1 &,\quad n=1\\ 0 &,\quad n\geq 2\end{cases}\tag 3$$
Esta última identidad es la caracterización de la función de Mobius $\mu$ (esto puede demostrarse utilizando el Convolución de Dirichlet ya que conocemos la inversa de Dirichlet de la función constante $1$ es la función de Möbius $\mu$ ), por lo tanto $s(n)=\mu(n)$ . Así que hasta aquí hemos llegado : $$\mu(n)=\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\ \gcd(k,n)=1}}\zeta_n^k \tag 4$$ Esta última identidad está relacionada con Suma de Ramanujan .
Utilizando de nuevo la convolución de Dirichlet, el Inversión Möbius da
$$ \varphi(n) = \sum_{d\mid n} d \cdot \mu\left(\frac{n}{d} \right) = n\sum_{d\mid n} \frac{\mu (d)}{d}\tag 5$$
Esta identidad puede derivarse también utilizando la expansión de : $ \prod_{p\mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right)$ y obtener $\sum_{d\mid n} \frac{\mu (d)}{d}$ . Ahora podemos utilizar esto para demostrar nuestra afirmación:
$$\begin{align}\sum_{k=1}^n \gcd(k,n) \zeta_n^k &=\sum_{d|n}d\sum_{\substack{1\leq k\leq n\\ \gcd(k,n)=d}} \zeta_n^k &\text{ take } d:=\gcd(k,n) \text{ and sum over }d &\\ \\ &=\sum_{d|n}d\sum_{\substack{1\leq k'\leq \frac{n}{d}\\ \gcd(k',\frac{n}{d})=1}} \zeta_{\frac{n}{d}}^k & \text{rewrite the inner sum; } k'=\frac{k}{d}\\ \\ &=\sum_{d|n}d\mu\left(\frac{n}{d}\right)& \text{ using the identity } (4)\\ \\ &=\varphi(n) &\text{ using the identity } (5)\end{align}$$
\
Esto nos da la identidad final: $$\varphi(n)=\sum_{k=1}^n \gcd(k,n) \zeta_n^k \tag 6 $$ ahora obtendría $(1)$ tomando la parte real de ambos lados de esta identidad.
