Puntos donde el campo eléctrico es cero cuando hay cargas en los vértices de un polígono regular

Question

Hay un $n$ -polígono regular de lados con una carga $q$ en cada vértice. Sé que hay $n$ puntos, otros el centro del polígono, donde el campo eléctrico es cero. Pero, ¿por qué es así? ¿Hay alguna forma general de demostrarlo?

PS: Sé que se han hecho algunas preguntas relacionadas con mi pregunta, pero ninguna de ellas me da una razón satisfactoria de por qué debería haber un total de $n+1$ puntos neutros en el espacio para tal distribución de carga.

Answer 1

Considere una línea que conecta dos cargas adyacentes en su polígono, y luego otra línea que biseca esa, yendo en la dirección x positiva a través del centro del polígono (en x = 0). Para demostrar que tu premisa es cierta, necesitarías encontrar otro punto (y sólo uno, si (n) es impar) (distinto de x = 0) en esa línea de simetría, donde la suma de las componentes x de los campos sea cero. Para una demostración general, las distancias y componentes de las distancias serían función de (n), y dependerían de si (n) es impar o par.

Answer 2

1. Por si sirve de algo, 2D Teoría Morse (suponiendo que todos los puntos críticos del potencial eléctrico son no degenerados) se obtiene que $$c_1-c_0~=~n-1\qquad\text{and}\qquad c_2~=~0,$$ donde $$\begin{align} c_0~:=~& \#{\rm minimum~pts}, \cr c_1~:=~& \#{\rm saddle~pts}, \cr c_2~:=~& \#{\rm maximum~pts},\end{align}$$ cf. p.ej. mi respuesta Phys.SE aquí .

2. Así que bajo estos supuestos $^1$ Reclamación de la OP para el regular $n$ -polígono $^2$ $$\begin{align}V(z)~=~&\sum_{j=1}^n \left|z-\exp\frac{2\pi i j}{n}\right|^{-1}\cr ~=~&\sum_{j=1}^n \left(\left(x-\cos\frac{2\pi j}{n}\right)^2+\left(y-\sin\frac{2\pi j}{n}\right)^2\right)^{-1/2}\cr ~=~&\sum_{j=1}^n\left(1+r^2-2r\cos\left(\theta-\frac{2\pi j}{n}\right)\right)^{-1/2} \end{align} $$ que el número de puntos críticos son $c_2+c_1+c_0=n+1$ si podemos demostrar que $c_0=1$ es decir, que el centro es el único mínimo local.

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$^1$ No es difícil ver que el centro $r=0$ es un punto crítico no degenerado:

$$ V(r,\theta)~=~\left\{ \begin{array}{rl} n\left(1+\frac{r^2}{4}\right) +{\cal O}(r^3) &\text{minimum pt for } n\geq 3,\cr 2+\frac{r^2}{2}\left(1+3\cos 2\theta\right)+{\cal O}(r^3)&\text{saddle pt for } n=2. \end{array}\right. $$

$^2$ Suponemos que $n\geq 3$ . Si $n=1$ entonces $c_0=0=c_1$ . Si $n=2$ entonces $c_0=0$ y $c_1=1$ .