¿La frontera de las bolas métricas tiene medida $0$ en un espacio de medida métrica con medida de Radon?

Question

Sea $(X,d,m)$ sea un espacio métrico de medidas tal que $m$ es una medida de Radon y sea $\overline{B}(x,r):=\{y\in X \mid d(x,y)\leq r\}$ . ¿Es cierto que el "límite" de $\overline{B}$ (es decir, el conjunto $\{y\in X \mid d(x,y)=r\}$ ) tiene $m$ medir $0$ ?

Answer 1

No. Para un ejemplo trivial, consideremos un espacio métrico finito.

Un ejemplo menos trivial $\Bbb R$ con medida de Lebesgue, pero con la métrica $d(x,y)=\min(|x-y|,1)$ que genera la topología habitual.