Tengo una matriz cuadrada compleja cuyos únicos valores propios son $1$ y $-1$ . Demuestre que $A$ y la inversa de esta matriz $A^{-1}$ son similares

Question

Estaba pensando en utilizar la fórmula para los bloques Jordan que tengo $J=P^{-1} AP$ donde

$$J= \left[\begin{array}{rr} 1 & 0 \\0 &-1 \end{array}\right]$$

Entonces $J^{-1}=P A^{-1}P^{-1}$

Puedo anotar $J=J^{-1}$

Entonces, ¿podría igualar los dos lados? Por ejemplo

$P^{-1} AP=P A^{-1}P^{-1}$ al simplificar $A=A^{-1}$

¿Probando así la similitud? Sin embargo, no estoy del todo seguro de que mi lógica sea correcta.

Answer 1

Si consideras tu base de vectores propios $(v_i)_{i=1}^n$ entonces sabes $$\begin{align*} Av_i = \pm v_i\quad \text{and} \quad AAv_i = v_i \end{align*}$$ Ahora ya sabes cada $x\in \mathbb{C}^n$ puede escribirse como $\sum_{i=1}^n x_i v_i$ para ciertos $x_i \in \mathbb{C}$ . Utilizando la linealidad de la multiplicación de matrices se obtiene $$\begin{align*} AAx = AA\sum_{i=1}^n x_i v_i = \sum_{i=1}^n x_i AAv_i = \sum_{i=1}^n x_i v_i = x \end{align*}$$ Así que $A$ es su propia inversa.