Si la función $f:[a,b]\to A$ es continua, entonces puedes definir la integral como una integral de Riemann. Si te fijas en cómo se demuestra que existe una integral de Riemann de una función continua, verás que todo lo que utilizas respecto al codominio (es decir $\mathbb R$ en el caso del cálculo) es que es un espacio de Banach; es decir, se toman combinaciones lineales y se utiliza el valor absoluto para las estimaciones, y la completitud para que exista el límite. Todo funciona igual en un espacio de Banach, no tienes que cambiar las pruebas para nada. Si el dominio fuera otro, por ejemplo un espacio de Banach, las cosas se complicarían más y se necesitaría la teoría de la medida (que es donde encaja la integral de Bochner), porque habría que medir de algún modo el tamaño de la partición.
En cuanto a la integral impropia, puedes definirla como dices. Un espacio de Banach es un lugar donde las secuencias de Cauchy son convergentes, por lo que si la secuencia de integrales $\int_0^n f$ es Cauchy, entonces el límite existirá. Y siempre se tiene la estimación $$ \Big\|\int_a^bf(t)\,dt\Big\|\leq\int_a^b\|f(t)\|\,dt $$ por la desigualdad del triángulo, que puede utilizarse para demostrar que la secuencia $\{\int_0^nf\}$ es Cauchy.
