Cómo mostrar Let $(X, d)$ sea un espacio métrico. Demostrar que si $X$ tiene un subconjunto denso finito, entonces $X$ es finito?

Question

Sea $(X, d)$ sea un espacio métrico. Demostrar que si $X$ tiene una densa finita denso, entonces $X$ es finito.

Mi intento: si es posible, $X$ es infinito y $A$ sea un subconjunto denso finito de $X$ . Ahora, para cualquier punto $x$ en $X$ cualquier vecindad de $x$ contiene al menos un punto de $A$ . Desde $X$ contiene un número infinito de puntos y $A$ es finito habrá alguna contradicción que no me viene a la cabeza. Por favor necesito ayuda.

Answer 1

No estás lejos. Si $A$ es un subconjunto del espacio métrico $X$ que es denso y finito, entonces $A = X$ . Para ver esto supongamos (para una contradicción) que $A$ un subconjunto denso finito adecuado del espacio métrico $X$ y que $x \in X \setminus A$ . En $x \not\in A$ , $d(x, a) > 0$ para cada $a \in A$ . Pero si tomamos $\varepsilon = \frac{\min_{a\in A}d(x, a)}{2}$ (que está bien definido y es positivo porque $A$ es finito), no existe ningún elemento $a \in A$ con $d(x, a) < \varepsilon$ Así que $A$ no es denso.