Fenómeno de Runge en $f[x] = \frac{1}{1 + (5 x)^2}$

Question

Hace poco me encontré con este problema al intentar la interpolación polinómica de la función $$f[x] = \frac{1}{1 + (5 x)^2}$$ utilizando Mathematica. Cuando otra función $$g[x]=\frac{1}{1 + (\frac x5)^2}$$ utilizó interpolación polinómica los resultados que Mathematica dio fueron similares a la serie de expansión de $g[x]$ . Pero la serie de potencias de $f[x]$ y su interpolación polinómica explotó en los puntos finales de $x=-1$ y $x=1$ . ¿Hay alguna razón de singularidad compleja para esto?

Answer 1

El fenómeno de Runge es consecuencia de dos propiedades:

1. Constante de Lebesgue de crecimiento rápido con mayor grado polinómico $P$ .

2. La magnitud de las derivadas de orden n-ésimo de la función particular crece rápidamente cuando $P$ aumenta.

La primera función $f$ satisface la propiedad seconde en el intervall $[-1,+1]$ . La segunda función $g$ no satisface la propiedad en el mismo intervalo, sin embargo en un intervalo más amplio $[-25,+25]$ .

Saludos

Answer 2

Una buena explicación, más o menos elemental, del fenómeno Runge es la de Epperson, "Sobre el ejemplo Runge" AMM 94:4 (1987), pp. 329-341 (DOI 10.2307/2323093). En la línea real la función se comporta bien, pero tiene polos cercanos en el eje imaginario.