¿Se puede considerar categóricamente el Producto Independiente en Probabilidad?

Question

Se puede construir una categoría de espacios de probabilidad, pero esto la categoría no tiene productos . Ahora bien, la teoría de la probabilidad se basa en gran medida en la capacidad de construir productos independientes, la medida del producto. En cierto sentido, la noción de independencia es lo que distingue la teoría de la probabilidad de la teoría de las medidas finitas.

I sentido e iluminar la noción de productos independientes independientes en la teoría de categorías?

Es posible formular la independencia en la categoría de Lawvere de mapas probabilísticos (espacios de Borel como objetos y núcleos de Markov como morfismos) en términos de morfismos constantes, pero creo que esto no es muy esclarecedor, la independencia condicional está incorporada en los morfismos. ¿Quizás, esto es lo que uno tiene que hacer cuando pone la probabilidad en el centro del escenario?

Conozco los rudimentos de la teoría categorial, pero preferiría una respuesta que no requiriese demasiada inmersión en la teoría categorial, siempre que eso sea posible.

Answer 1

Muy buena pregunta ;) Escribí un breve artículo sobre esta cuestión hace unos diez años, véase http://arxiv.org/abs/math/0206017 (Mis disculpas por hacer publicidad de mi propio trabajo, pero es exactamente la pregunta que me hice en aquel momento).

El producto de espacios de probabilidad es producto tensorial en el sentido de categoría, como también señaló Martin Brandeburg en un comentario. Pero tiene una estructura adicional, tiene morfismos naturales sobre los factores en el producto tensorial. Esto se debe a que las proyecciones sobre los dos factores que tenemos para el producto cartesiano (de conjuntos) preservan las medidas, por lo que también son morfismos en la categoría de espacios de probabilidad. He llamado a esta estructura producto tensorial con proyecciones para dos objetos $\Omega_i=(\Omega_i,\mathcal{F}_i,P_i)$ , $i=1,2$ se obtiene $\Omega_1\otimes\Omega_2=(\Omega_1\times\Omega_2,\mathcal{F}_1\otimes\mathcal{F}_2,P_1\otimes P_2)$ y variables aleatorias $X_i:\Omega_1\otimes\Omega_2\to \Omega_i$ , $i=1,2$ .

Se puede utilizar este "producto tensorial con proyecciones" para caracterizar la independencia de variables aleatorias: dos v.r. $Y_i:\Omega\to\Omega_i$ , $i=1,2$ definidas en el mismo espacio de probabilidad $\Omega$ son independientes si se factorizan, es decir, si existe un v.r. $Z:\Omega\to\Omega_1\otimes \Omega_2$ tal que $Y_i=X_i\circ Z$ , $i=1,2$ .

La noción se dualiza a las álgebras de funciones sobre un espacio de probabilidades, donde se convierte en una producto tensorial con inclusiones . Generalizando a álgebras no necesariamente conmutativas, incluye nociones de independencia utilizadas en probabilidad no conmutativa (o cuántica), como la gratuidad.

Answer 2

Culbertson y Sturtz han publicado recientemente un artículo sobre el tema. Una base categórica para la probabilidad bayesiana .

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Algunas reflexiones sobre la categoría $\mathrm{Meas}$ de espacios medibles, donde los objetos son conjuntos dotados de $\sigma$ -y los morfismos son funciones medibles (es decir, variables aleatorias). Este parece el lugar más natural para jugar con los fundamentos de la probabilidad, ya que la categoría $\mathrm{Meas}$ tiene un concepto natural de producto tensorial, donde el correspondiente $\sigma$ -está generada por conjuntos producto.

• Pregunta: ¿Es $\mathrm{Meas}$ una categoría cartesiana cerrada bajo el producto tensorial?

Una medida es una función contablemente aditiva definida sobre $\sigma$ -álgebras. Normalmente aprendemos que las medidas toman valores en los números reales (un espacio medible por Borel), pero no hay razón para que no puedan tomar valores en estructuras más generales, por ejemplo, espacios vectoriales o grupos topológicos. Que yo sepa, la formulación más general se debe a Tarski, cuyos monoides se valoran en monoides conmutativos. Para Tarski, una "medida" es en realidad un functor de una subcategoría de $\mathrm{Meas}$ a la categoría $\mathrm{ComMon}$ de monoides conmutativos. Este es un objeto universal, y todas las demás medidas pueden derivarse de él. Aún no estoy seguro de este enfoque, pero comprender el functor de Tarski es el actual proyecto de tesis de Tyler Bryson, estudiante de máster en el Instituto Courant. Dentro de unos meses dará más detalles.

Para definir la independencia, necesitamos multiplicar probabilidades, por lo que las medidas deben tomar valores en un anillo. Esta estructura multiplicativa también es importante para las probabilidades condicionales, de forma más general, así como para las teorías de integración. Si el espacio admite simetrías (es decir, una acción de grupo), entonces el enfoque de Tarski escupe una estructura multiplicativa natural, así que creo que estamos a salvo en general.

A continuación, puede normalizar todas las medidas para que tengan el tamaño $1$ convertirlas en medidas de probabilidad, pero lo desaconsejo desde el punto de vista categórico. En física estadística (y más en general, en estadística), estas constantes de normalización son lo más difícil de calcular. Recomiendo llevar la cuenta de ellas combinatoriamente, y luego reducirlas al final. Además, puede ser útil llevar la cuenta de algunas "escalas" diferentes de medidas, cuando no esté claro a cuál normalizar $1$ . Esto se observa incluso en el caso de medidas con valores vectoriales. En el entorno cuántico de las medidas valoradas por operadores no negativos, se puede elegir una escala uniforme, pero de nuevo las constantes de normalización son integrales espectrales difíciles de calcular.

No pasa nada si al final quieres medidas probabilísticas, sólo asegúrate de que $1$ tiene sentido utilizarlo en el contexto que estás estudiando.

De todos modos $R$ sea un anillo conmutativo topológico y sea $M(X) := M(X,R)$ denotan el espacio de $R$ -medidas valoradas en $X$ . Se trata de un espacio medible, cuando está equipado con el mínimo $\sigma$ -para que el mapa de evaluación sea medible. Este $M$ es un endofunctor en $\mathrm{Meas}$ y estrechamente relacionada con la mónada de Giry.

Consideremos el producto tensorial $XY := X \otimes Y$ de espacios medibles. Existen mapas de proyección naturales $\pi_X : XY \to X$ y $\pi_Y : X \otimes Y \to Y$ . Las medidas empujan hacia adelante, por lo que hay mapas naturales $(\pi_X)_* : M(XY) \to M(X)$ y $(\pi_Y)_* : M(XY) \to M(Y)$ . Tenga en cuenta que $M(XY)$ corresponde a las distribuciones conjuntas sobre $X$ y $Y$ y las proyecciones resultantes las distribuciones marginales.

Tenga en cuenta que $M(XY)$ corresponde a las distribuciones conjuntas sobre $X$ y $Y$ y las proyecciones resultantes las distribuciones marginales.

También está el espacio natural $M(X)M(Y) := M(X) \otimes M(Y)$ y sus correspondientes mapas de proyección $\pi_{MX} : M(X)M(Y) \to M(X)$ y $\pi_{MY} : M(X)M(Y) \to M(Y)$ .

Siempre que exista algún teorema de tipo Fubini, debería existir un mapa natural $\varphi : M(X)M(Y) \to M(XY)$ enviando un par de medidas a su medida producto, correspondientes a variables aleatorias independientes. Esto debería corresponder a un diagrama conmutativo, pero no lo veo.

De nuevo, cuidado con las constantes de normalización, ya que hay dos $M$ en el origen de este mapa, pero sólo uno $M$ en el objetivo. Entonces, las variables aleatorias dependientes deben cuantificarse mediante un fallo de conmutación de algún diagrama.

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Aunque no haya respondido a la pregunta, espero que algunos de estos contenidos le resulten útiles.

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