${2n \choose 1} + {2n \choose 3} + ... {2n \choose 2n-1}$

Question

$(1) \ \ \ \ {2n \choose 1} + {2n \choose 3} + ... {2n \choose 2n-1} = ?$

Sé que $\sum_{k=0}^n {n \choose k} = 2^n$ y es bastante fácil de obtener, ya que es una cantidad de todos los conjuntos posibles que podemos obtener de ${1,2,...,n}$ . También existe una fórmula para $k = k + at$ $\forall_{a,t} \in R$ pero es bastante complicado, así que pensé en calcularlo por mi cuenta.

Una suposición que he hecho es que también puedo expresar $(1)$ un poco diferente:

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} = \sum_{k=0}^n {n \choose 2k-1} + \sum_{k=0}^n {n \choose 2k} = A + B$ . Pongamos un ejemplo: $n = 4$ . Lo que obtengo es:

$A = {8 \choose 1} + {8 \choose 3} + {8 \choose 5} + {8 \choose 7}$

$B = {8 \choose 0} + {8 \choose 2} + {8 \choose 4} + {8 \choose 6} + {8 \choose 8}$

Viene una parte confusa de la que no estoy nada seguro, pero vamos $A$ sea una cantidad de todos los conjuntos con una cantidad impar de elementos, y lo mismo para $B$ pero ahora pensamos en una cantidad par de conjuntos con una cantidad par de elementos. Yo pensaba:

$A + B + x_4 = 2^4 + 2^5 +x_4 = 2^8$

Entonces: $x_4 = 2^4 \cdot 13$ . Ok, un poco interesante debido al hecho de que tenemos $2^4$ . Tenerlo hecho para algunos ejemplos más:

$x_2 = 2^2 \cdot 1$

$x_3 = 2^3 \cdot 5$

$x_4 = 2^4 \cdot 13$

$x_5 = 2^5 \cdot 29$

$x_6 = 2^6 \cdot 61$

$x_{2n} = 2^{2n} \cdot a_{2n}$

Una parte interesante es una serie de estos números $(5,13,29,61,...)$ . Parece, que cada número siguiente $a_{2i} = a_{2i-1} + (n - 5) \cdot 8$ . Así que si supiera si la fórmula es verdadera $\forall_{2n \in R}$ Podría obtener, por ejemplo, $\sum_{k=1}^n {2n \choose 2k-1}$ . Pero... ¿es verdad del todo?

TL;DR ¿Cuál es una forma elegante de obtener una suma ${100 \choose 1} + {100 \choose 3} + ... + {100 \choose 99}?$ Por supuesto, existe la fórmula que he mencionado antes:

Pero es complicado y no parece ser útil durante una prueba.

Answer 1

Tenemos la siguiente expansión binomial: $$(1+1)^{2n}=\binom{2n}{0}+\binom{2n}{1}+\dots+\binom{2n}{2n}$$ y $$(1-1)^{2n}=\binom{2n}{0}-\binom{2n}{1}\pm\dots+\binom{2n}{2n}.$$ Sumando ambas se obtiene $$2^{2n}=2\binom{2n}{0}+2\binom{2n}{2}+\dots+2\binom{2n}{2n},$$ Así que dividiendo todo por $2$ obtenemos $$2^{2n-1}=\binom{2n}{0}+\binom{2n}{2}+\dots+\binom{2n}{2n}.$$ Por supuesto, restando esto de la primera ecuación (la expansión binomial de $(1+1)^{2n}$ ) tenemos $$2^{2n-1}=2^{2n}-2^{2n-1}=\binom{2n}{1}+\binom{2n}{3}+\dots+\binom{2n}{2n-1}.$$ El truco clave aquí era considerar dos expansiones binomiales diferentes, una de las cuales tiene signos alternos, y luego explotar la cancelación en cualquier otro término para aislar los términos que queremos mirar en la suma.

Answer 2

Sugerencia : La identidad ${n\choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}$ nos dice, por ejemplo, que

$${8\choose1}+{8\choose3}+{8\choose5}+{8\choose7}=\left({7\choose0}+{7\choose1}\right)+\left({7\choose2}+{7\choose3}\right)+\left({7\choose4}+{7\choose5}\right)+\left({7\choose6}+{7\choose7}\right)$$