¿Es ideal la forma en que los matemáticos han clasificado las transformaciones lineales, o quizá podríamos haberlo hecho mejor?

Question

La razón por la que pregunté a estos 4 preguntas respecto a si todas las transformaciones lineales/afines pudieran estar formadas por alguna combinación de:

• Rotación
• Estiramientos
• Proyección
• Traducción

Era que estaba especulando si de ahí podrían formar algún tipo de base para un espacio. Sin embargo, en esta especulación me encontré con algunos problemas, como la no conmutatividad de las combinaciones de transformaciones lineales.

5. Si la respuesta a 1. es afirmativa, entonces ¿podrían las transformaciones lineales en $\Bbb R^2$ ser considerado como una especie de espacio vectorial no conmutativo donde la base es:

   $S_x$ - Estiramientos en el $x$ dirección por un factor de 1

   $S_y$ - Estiramientos en el $y$ dirección por un factor de 1

   $\Bbb R$ - Rotación de 360

   $T_x$ - Esquileo en la $x$ dirección por un factor de 1

   $T_y$ - Esquileo en la $y$ dirección por un factor de 1

   La no conmutatividad de este espacio lo hace parecer raro y no he estudiado otros espacios que no sean $\Bbb R^n$ así que ni siquiera sé si los espacios no conmutativos pueden existir ya que $a+b != b+a$ en general

   Y si esto fuera cierto, entonces implicaría transformaciones lineales para $\Bbb R^2$ ¿¡existen en 5 dimensiones!? Y para las transformaciones afines en $\Bbb R^2$ 7 dimensiones (desde el $x$ y $y$ Se añadirían traducciones)?

6. Olvidando la especulación, cuando aprendemos sobre los tipos de transformaciones lineales anteriores, ¿podrían nuestros profesores (o más bien, los matemáticos en general), haber elegido una forma diferente de categorizar las transformaciones lineales para que todas las transformaciones lineales puedan expresarse como alguna combinación de este nuevo conjunto de categorías de transformaciones lineales?

   ¿Es el conjunto que han elegido los matemáticos la mejor manera de categorizar las transformaciones lineales/afines, o es arbitrario y no existe una "mejor manera", o por el contrario, podría mejorarse la forma de categorizarlas?

7. Aplicando lo sugerido en 5. a 6., ya que se pueden seleccionar muchas bases diferentes para espacios de la forma $\Bbb R^n$ (y me imagino que esto es cierto para la mayoría de los espacios vectoriales, si no para todos), quizá pueda aplicarse lo mismo al espacio formado por transformaciones lineales (si es que forman un espacio).

8. Y, por último, ¿podría haber alguna forma de seleccionar "mejores" vectores base para este espacio, de modo que el espacio sea conmutativo (y, por tanto, más "normal")?

Answer 1

La cuestión es mejor para los mapas afines invertibles. Entonces se tiene el grupo de Lie. Pero entonces las traslaciones forman un subgrupo que puedes manejar más adelante. En cuyo caso se trabaja en el grupo de Lie $GL(n,\Bbb R)$ . No es un espacio vectorial, así que no tiene sentido pedir una base, pero si se trabaja infinitesimalmente se obtiene el álgebra de Lie, que tiene muchas bases convenientes. Éstas provienen exactamente de la descomposición en rotaciones y el resto. Las rotaciones son lo que se llama el máximo compacto. Luego se juntan todos estos ingredientes.

Answer 2

Hay muchas formas de caracterizar las transformaciones lineales. Podrías estudiar la forma canónica de Jordan, la forma canónica racional, la descomposición polar, la descomposición del valor singular, la descomposición QR, la descomposición LU...

Si ninguno de ellos se ajusta a tus necesidades, puedes definir otro.

Answer 3

Elija una base de $\mathbb R^2$ . La base $\{v_1 = (1,0), v_2 = (0,1)\}$ es buena, pero técnicamente cualquier base siempre que especifique qué base ha elegido.

Cualquier transformación lineal de $\mathbb R^2$ puede especificarse unívocamente mediante el par de vectores $v_1', v_2'$ al que la transformación mapea el par de vectores $v_1, v_2$ . A la inversa, cualquier par de vectores $v_1', v_2'$ corresponde a un único transformación lineal que mapea $v_1, v_2$ a $v_1', v_2'$ .

Como se puede ver en esta descripción, dos vectores bidimensionales son suficientes para identificar cualquier transformación lineal de $\mathbb R^2$ , por lo que las transformaciones lineales tienen cuatro dimensiones, no cinco.

Básicamente cualquier aproximación al álgebra lineal va a tener que caracterizar todas las transformaciones lineales de alguna manera, y no creo que más allá de un nivel muy elemental las primitivas a partir de las cuales elegimos construir todas las transformaciones será cualquier subconjunto de las transformaciones que usted enumeró. La última vez en mi educación matemática que recuerdo esas transformaciones como la "base" para todas las transformaciones lineales fue en un en un plan de estudios de tipo "pre-cálculo" durante la escuela secundaria. (Por supuesto, en matemáticas más avanzadas aún es el caso de que podríamos señalar que ciertas transformaciones caen caen en una de esas categorías, y a veces trabajamos con un interesante interesante de transformaciones que puede caracterizarse de esta manera, por ejemplo, todas las transformaciones son rotaciones de algún tipo).

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En cuanto a la conmutatividad, sólo se puede obtener si se está dispuesto a descartar muchas transformaciones posibles del "espacio" que estás dispuesto a considerar. La razón es simplemente que algunos pares de transformaciones no conmutan . La única forma de obtener un álgebra conmutativa es eliminar de su "espacio" al menos una de las transformaciones en cualquiera de tales par no conmutativo. Son muchas transformaciones de las que hay que deshacerse.

Por ejemplo, las transformaciones consistentes únicamente en rotaciones y dilataciones (que escalan uniformemente en todas las direcciones) se conmutan. Pero ahora se han perdido el estiramiento y el cizallamiento.

Answer 4

Rotación, estiramiento dilatación y traslación son conformal es decir, no cambian de ángulo. La proyección es singular, es decir, asigna regiones de volumen positivo a regiones de volumen cero.

La transformación lineal $(x,y) \mapsto (x, x+y)$ es una cizalla . Es no singular, por lo que no puede tener proyecciones entre sus factores. Pero modifica algunos ángulos (por ejemplo, el ángulo entre $(1,0)$ y $(0,1)$ se convierte en el ángulo entre $(1,1)$ y $(0,1)$ que es diferente), por lo que no puede estar formado sólo por transformaciones que nunca cambian los ángulos.

El cizallamiento se produce siempre que se realiza la operación elemental de sumar un múltiplo de una fila de una matriz a otra fila.

POSTSCRIPT: Parece que con "estirar" se quería decir algo más que multiplicar cada vector por el mismo escalar, así que la cuestión del cierre bajo composición, del conjunto de transformaciones propuesto, va más allá de lo que abordan los párrafos anteriores.