Cómo encontrar la suma de $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$

Question

Encontrar esta suma %#% $ #%

Mi intento: desde $$\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n!(n^4+n^2+1)}$ $ y $$n^4+n^2+1=(n^2+1)^2-n^2=(n^2+n+1)(n^2-n+1)$ $ entonces no podemos ir más lejos.

Answer 1

Deje $S$ denotar la suma a ser evaluados. Para cada $n$, $$ \frac2{n^4+n^2+1}=\frac{n+1}{n(n+1)+1}-\frac{n-1}{(n-1)n+1}, $$ por lo tanto $$ 2S=\sum_{n\geqslant1}\frac{n+1}{n(n+1)+1}\frac1{n!}-\sum_{k\geqslant1}\frac{k-1}{(k-1)k+1}\frac1{k!}. $$ El lado derecho es casi un telescópico de la serie. A saber, el cambio de variable $n=k-1$ en los últimos suma y el hecho de que su $k=1$ plazo es cero rendimiento $$ 2S=\sum_{n\geqslant1}\frac{n+1}{n(n+1)+1}\frac1{n!}-\frac{n}{n(n+1)+1}\frac1{(n+1)!}, $$ es decir, $$ 2S=\sum_{n\geqslant1}\frac{(n+1)^2-n}{n(n+1)+1}\frac1{(n+1)!}\stackrel{k=n+1}{=}\sum_{k\geqslant2}\frac1{k!}=\mathrm e-\frac1{0!}-\frac1{1!}, $$ y por último, $$ S=\frac12\mathrm e-1. $$