Dado un terreno, ¿cómo dibujar la trayectoria de la corriente?

Question

Suponiendo que tengo un terreno, como de costumbre el terreno tiene crestas, arroyos y todas las características que se pueden encontrar en un mapa de la vida real. El agua fluye desde la cima de la montaña hacia la zona inferior, el camino por el que fluye el agua se denomina camino de flujo del arroyo.

El terreno se da en términos de red irregular triangular ( TIN), en la que cada punto $p(x,y)$ tiene un $z$ valor. ¿Cómo utilizar esta información para construir el recorrido de la corriente? ¿Cuál es la base física?

Edición: Me pregunto si existe algún documento al respecto.

Answer 1

1) Ignoremos en primer lugar las cuestiones técnicas relativas a un red irregular triangulada y nos limitaremos a discutir el problema liso idealizado en el que se da un perfil de altura liso $z=\phi(x,y)$ del terreno. Se puede introducir localmente un función de flujo $\psi=\psi(x,y)$ tales que las curvas

$$\psi(x,y)~=~{\rm constant}$$

representan las líneas de corriente. (Sin embargo, existen obstrucciones globales, véase el punto (4) a continuación). Los gradientes de $\psi$ y $\phi$ deben ser perpendiculares,

$$ \nabla\psi \cdot \nabla\phi~=~ \frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial \phi}{\partial y} ~=~0. \tag 1$$

Se trata de una EDP lineal de primer orden en $\psi$ en dos variables $(x,y)$ . Su solución $\psi$ resuelve formalmente el problema liso localmente.

2) Si además el campo de velocidad horizontal del fluido $(u,v)$ no tiene divergencias

$$ \frac{\partial u}{\partial x}+ \frac{\partial v}{\partial y} ~=~0,$$

se puede exigir que

$$ u = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \qquad v = -\frac{\partial \psi}{\partial x}. $$

3) Si además $(u,v)$ también está libre de rizos (=libre de vórtices), entonces la función de flujo $\psi$ se convierte en función armónica . Ver también flownets .

4) Obstrucciones globales. La función de flujo $\psi$ está mal definido en fuentes y sumideros, es decir, en extremos locales.

5) Comentemos ahora la superficie triangulada, con vértices, aristas y caras. Si (en lugar de introducir una función de flujo $\psi$ ) resolver el problema una línea de corriente a la vez, uno podría terminar con líneas de corriente que no se cruzan físicamente debido a errores numéricos. Resolviendo en términos de la función de flujo $\psi$ protege localmente contra este tipo de soluciones no físicas.

6) Que $\phi$ y $\psi$ en los vértices. Los gradientes $\nabla\psi$ y $\nabla\phi$ viven naturalmente en las caras, es decir, los gráfico dual para que la ecuación (1) pueda hacerse discreta.

Answer 2

Intentaré dar algunas ideas para empezar.

Una superficie triangulada no será lisa, pero puede ser útil para entender cómo funcionaría el problema en una superficie lisa. Se podría suponer que desde cada punto el agua fluye en la dirección más empinada hacia abajo. Esto ignora el momento del agua que podría afectar a la trayectoria e incluso proporcionar caídas de agua. Si quieres modelizar eso tu trabajo va a ser más difícil.

Si la altura $z(x,y)$ es una función de dos coordenadas de la cuadrícula $x$ y $y$ y es una función diferenciable, entonces la dirección del flujo viene dada por la derivada negativa del vector $-grad(z)$ Puede trazar una curva sobre la superficie a partir de cualquier punto (un resorte) siguiendo la dirección hasta que fluya del borde de la cuadrícula o llegue a un mínimo local. Si llegas a un mínimo, el agua formará allí un lago y se llenará hasta encontrar un punto de salida. Dicho punto será siempre un punto de silla de montar, es decir, un punto en el que $grad(z)$ es cero pero no es ni mínimo ni máximo. Este es el tipo de punto que forma un puerto de montaña y los ríos de los lagos siempre salen por esos puntos.

Tienes que idear alguna estrategia para decidir dónde colocar las fuentes de tus flujos. Esto puede ser aleatorio o puedes elegir puntos especiales, como puntos de caballete. Si éstos son a veces puntos de salida de lagos, podrían ser también lugares para manantiales. En general, desde un punto de silla de montar hay dos direcciones opuestas en las que el arroyo puede fluir, que se pueden encontrar utilizando las segundas derivadas. También se pueden iniciar los arroyos desde las cumbres eligiendo las direcciones en las que el terreno se curva con mayor pendiente para la dirección inicial.

En el problema real, la superficie no es lisa, sino una malla triangulada. Desde cada punto fluirá una corriente en la dirección de mayor pendiente. Dentro de un triángulo dado, será una línea recta. Su dirección es fácil de calcular. Halla la normal al triángulo tomando el producto cruz de dos vectores de arista. A continuación, proyecta la normal sobre $(x,y)$ plano. Los casos en los que el terreno es llano constituyen un caso especial.

Cuando el agua llega al borde de un triángulo, o bien fluye hacia el triángulo adyacente y cambia de dirección, o bien fluye a lo largo del borde. Tienes que comprobar la pendiente de cada posibilidad y elegir la más pronunciada. También puede llegar a un punto desde el que puede alejarse por un triángulo o un borde. También en este caso hay que calcular cada posibilidad y elegir la más empinada.

Para encontrar puntos de partida, puedes tomar puntos al azar a gran altitud o buscar puntos de ensilladura y cumbres. Para ello, observa cada una de las aristas que se unen en un vértice y determina si tienen pendiente ascendente o descendente desde el punto. Traza alrededor del punto y cuenta cuántas veces cambia de signo la pendiente. Si cambia dos veces, estás en una pendiente. Si no cambia nunca, estás en un punto máximo o mínimo. Si cambia más de cuatro veces, estás en un punto de silla de montar. Es posible que cambie más de cuatro veces, ya que la superficie no es lisa. Las cumbres y los puntos de silla de montar son buenos lugares para situar manantiales con agua que fluye en la dirección o direcciones más empinadas. Traza el camino de los arroyos desde allí hasta que llegues a un mínimo.

En un terreno parecido a un paisaje realista es probable que los arroyos converjan. La mayoría convergerán a lo largo de las aristas de los triángulos, pero también podrían converger en un vértice si hay más de una dirección de acento local más pronunciado desde el punto. Una estrategia sería comenzar un manantial en cada vértice o centro de triángulo y contar cuántos (¿ponderados por el área del triángulo?) convergen en cada arroyo para encontrar los ríos más grandes.

Espero que esto sea suficiente para ayudarte a resolver los detalles y escribir el software necesario.