Hallar la suma de los valores de $x$ tal que $|x+2| +|x-3| +|x+4| + |x+5| = 18$

Question

Lo he probado encontrando los diferentes valores en el $4$ puntos de inflexión del gráfico. Entonces no sabía cómo proceder. ¿Estoy en lo cierto hasta aquí?

Answer 1

1. $x \le -5 $ Tenemos que resolver $-(x+2)-(x-3)-(x+4)-(x+5)=18$
2. $-5 \le x \le -4 $ Tenemos que resolver $-(x+2)-(x-3)-(x+4)+(x+5)=18$
3. $-4 \le x \le -2$ Tenemos que resolver $-(x+2)-(x-3)+(x+4)+(x+5)=18$
4. $-2 \le x \le 3$ Tenemos que resolver $(x+2)-(x-3)+(x+4)+(x+5)=18$
5. $x \ge 3$ Tenemos que resolver $(x+2)+(x-3)+(x+4)+(x+5)=18$

Recuerda resolver cada una de ellas y ver si realmente son una solución a la ecuación original o incluso una contradicción con la desigualdad de la ecuación de ese caso. Espero que te sirva de ayuda.

Answer 2

He aquí otra solución, que utiliza un teorema de orden superior pero que reduce el trabajo.

Puedes pensar en tu problema como encontrar puntos en la recta numérica donde la suma de las distancias a los puntos $-2,3,-4,$ y $-5$ es $18$ . (Esto se debe a que $|x+2|=|x-(-2)|$ es la distancia desde $x$ a $-2$ etc.)

Un teorema bien conocido es que la suma de las distancias desde un punto $x$ a un conjunto dado de puntos se minimiza en cualquier mediana del conjunto de puntos y aumenta a medida que $x$ se aleja de la mediana. Si el número de puntos del conjunto es par, como en tu conjunto de cuatro números, cualquier mediana entre los dos puntos medios da la suma mínima de distancias. Por tanto, el lado izquierdo de tu ecuación es el menor para cualquier $-4\le x\le -2$ y aumenta a medida que $x$ se desplaza a la derecha de $-2$ o a la izquierda lejos de $-4$ .

Vemos fácilmente que la suma es $10$ para $-4\le x\le -2$ por lo que hay exactamente dos valores de $x$ que dan la suma $18$ . (No habría soluciones si quisiéramos un valor menor que $10$ e infinitas soluciones si quisiéramos el valor $10$ .) Sólo hace falta un poco de trabajo para ver que los valores son $x=-6.5$ a la izquierda y $x=2$ a la derecha.

Answer 3

Una interpretación gráfica puede ayudar a eliminar algunos casos. Todas las funciones en los términos de la suma no son más que traslaciones horizontales de la función valor absoluto. La suma de términos es demasiado pequeña en el intervalo $ \ -5 \ \le \ x \ \le -2 \ $ para producir un valor tan grande como 18, ya que el valor medio de los cuatro términos tiene que ser $ \ \frac{18}{4} \ = \ 4.5 \ $ . Así que sólo tenemos que considerar randomgirl 's casos 1, 4 y 5 , de los cuales los dos primeros son los que tienen más probabilidades de ofrecer una solución. La puesta a punto de esos casos procede esencialmente de considerar rectas de pendiente 1 o -1 con apropiadas $ \ y-$ intercepta. También podemos sospechar que el caso 5 no ofrece solución (la suma de términos es demasiado grande, ya que la media de los tres términos mayores es mayor que 6) y, de hecho, el valor calculado para $ \ x \ $ no está en el intervalo de dominio $ \ x \ > \ 3 \ $ . Por tanto, los casos 1 y 4 son las únicas posibilidades (y la respuesta del caso 1 no puede ser muy inferior a -5 ).

Answer 4

Para problemas como éste, es útil poder esbozar rápidamente gráficos de las sumas y diferencias de funciones. En este caso, dejamos que $f(x) = |x+2| +|x-3| +|x+4| + |x+5|,$ que es la suma de cuatro funciones simples, $f_1(x) = |x+2|$ , $f_2(x) = |x-3|$ , $f_3(x) = |x+4|$ y $f_4(x) = |x+5|.$ Todas estas funciones se muestran en el siguiente gráfico:

Las cuatro funciones $f_1$ , $f_2$ , $f_3$ y $f_4$ son muy fáciles de trazar. Un punto clave que ayuda al trazar la suma de estas cuatro funciones es que las cuatro funciones son lineales excepto en sus puntos de inflexión, así que si graficas la suma de las funciones en cada uno de los cuatro valores $x=-5$ , $x=-4$ , $x=-2$ y $x=3$ puede simplemente "unir los puntos" con segmentos rectos para trazar la función de $x=-5$ a $x=3$ . A la izquierda de $x=-5$ las cuatro funciones tienen pendiente $-1$ por lo que su suma tiene pendiente $-4$ a la derecha de $x=3$ la suma tiene pendiente $4$ . Esto es todo lo que necesitamos saber para trazar completamente la función y encontrar los dos puntos donde $f(x) = 18$ .

Observe que entre $x=-4$ y $x=-2$ tenemos dos funciones que han aparecido y tienen pendiente $1$ y dos funciones que siguen bajando con pendiente $-1$ , por lo que la suma de las funciones tiene pendiente cero, es decir, la gráfica de la función $f$ en este intervalo es una línea horizontal. Es una ilustración del teorema más general citado por Rory Daulton: dado un conjunto finito de puntos predeterminados puntos en la recta de los números reales, para cualquier punto $x$ en la región donde hay el mismo número de puntos predeterminados a la izquierda que de puntos predeterminados a la derecha, obtendrás la misma suma de distancias a todos esos puntos.