Encontrar contraejemplos en la teoría elemental de conjuntos.

Question

Tuve los dos problemas siguientes:

Encontrar un contraejemplo para $f_*(A \cap B) \supseteq f_*(A) \cap f_*(B)$ y $f_*(A-B) \subseteq f_*(A) -f_*(B).$ Dónde $f_*(X)$ es la imagen de $X$ en $f$ para alguna función $f:A \rightarrow B$ y algún subconjunto $X \subseteq A$ .

Llegué a la siguiente respuesta:

Sea $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ donde $f: x\mapsto 0$ dejar $A=\{1,2\}$ y $B=\{3,4\}$ .

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• Para $f_*(A \cap B) \supseteq f_*(A) \cap f_*(B)$ , $$f_*(A \cap B) = f_*\{ \varnothing\} = \varnothing \hspace{1cm} \text{and} \hspace{1cm} f_*(A) \cap f_*(B)=\{0\} \cap \{0\} = \{0\}.$$ De ello se deduce que $\varnothing \nsupseteq \{0\}$ .

• Para $f_*(A-B) \subseteq f_*(A) -f_*(B)$ , $$f_*(A-B)=f_*(\{1,2\})=\{0\} \hspace{1cm} \text{and} \hspace{1cm} f_*(A) - f_*(B) = \{0\} - \{0\} = \varnothing$$ De ello se deduce que $\{0\} \nsubseteq \varnothing$ .

Ahora (suponiendo que mi respuesta sea correcta), digamos que quiero encontrar más contraejemplos o quizá una respuesta más general (por ejemplo, todas las condiciones en las que falla la inclusión). Aparte de por ensayo y error o simplemente por intuición, ¿cómo lo haría?

Sé que es una pregunta amplia, así que estoy preguntando específicamente por métodos o consejos sobre cómo construir contraejemplos en teoría elemental de conjuntos (por ejemplo, consejos sobre por dónde empezar o reglas que se apliquen en general y que puedan resultar poco obvias).

Answer 1

Establece $A$ y $B$ y una función $f$ constituyen un contraejemplo a $f_*(A\cap B)\supseteq f_*(A)\cap f_*(B)$ si y sólo si existe algún $x\in f_*(A)\cap f_*(B)$ tal que $x\notin f_*(A\cap B)$ . Esto significa que debe haber algún $a\in A$ y $b\in B$ tal que $f(a)=f(b)=x$ pero no hay $c\in A\cap B$ tal que $f(c)=x$ . En otras palabras, debemos tener $a\ne b$ . Así, puede obtener todos los ejemplos posibles tomando $A$ y $B$ sean conjuntos no vacíos, ninguno de los cuales sea subconjunto del otro, eligiendo un $a\in A\setminus B$ y un $b\in B\setminus A$ y definiendo $f$ para que $f(a)=f(b)$ pero $f(c)\ne f(a)$ siempre que $c\in A\cap B$ .

Me detendré aquí por ahora por si quieres intentar analizar el segundo problema de forma similar por tu cuenta.

Answer 2

Tus respuestas son correctas y, como ya has dicho, no existe una regla general para producir contraejemplos a la inversa de un resultado dado. Sin embargo, a menudo resulta útil examinar la demostración del resultado correcto y estudiar detenidamente cómo entran en juego las premisas. En cada paso en el que se utilicen, puede intentar producir un ejemplo -que no satisfaga la premisa que se utiliza- y ver si esto ya es suficiente para producir un "contraejemplo".

Dado que muchos argumentos teóricos de conjuntos son bastante indulgentes en el sentido de que cambiar los conjuntos sólo un poco no cambiará el resultado (esto no es cierto para la pregunta que estabas considerando, pero es un tema común no obstante), también es aconsejable intentar primero violar fuertemente las premisas de un resultado dado. Dependiendo del contexto, eso podría significar violarlo en un conjunto estacionario o en un conjunto de medida completa o en un conjunto denso o... En realidad, no hay una regla común, pero en muchas situaciones hay "candidatos naturales" a tener en cuenta. Con el tiempo, desarrollarás una intuición para estas cosas, al menos en algunas situaciones.

En general, encontrar contraejemplos puede ser increíblemente difícil y a menudo requiere mucha experiencia con un tema determinado.