¿Determinan muchos plurigenera finitos la dimensión de Kodaira?

Question

Sea $X$ sea una variedad proyectiva lisa sobre un campo de característica $0$ y que $K_X$ sea el haz canónico. Recordemos que la dimensión de Kodaira $\kappa(X)$ se define como el número $\kappa$ tal que $$\alpha m^{\kappa}\le h^0(X,mK_X) \le \beta m^{\kappa}$$ para $\alpha,\beta>0$ y $m$ suficientemente grande y divisible (o $\kappa=-\infty$ si $h^0(X,mK_X)=0$ para todos $m$ ). Es bien sabido que $\kappa(X)$ es un invariante birracional. Una pregunta natural es cómo de grande $m$ que debemos tomar para determinar $\kappa$ . Más concretamente:

¿Existe un número entero $M>0$ según sólo $\dim X$ , $h^0(X,K_X),h^0(X,2K_X),\ldots,h^0(X,MK_X)$ determine $\kappa(X)$ ?

En concreto, ¿existe un $M>0$ en función de $\dim X$ tal que $h^0(K_X)=\ldots=h^0(MK_X)=0$ implica que $\kappa=-\infty$ ?

Answer 1

No sé la respuesta, pero la encuesta Resultados de acotación en geometría biracional de Hacon y McKernan cita algunos resultados y conjeturas que podrían ser útiles.

Creo que tu segunda pregunta tendría una respuesta afirmativa si la conjetura 3.6 es cierta:

Existe un número entero $N = N(n,\kappa)$ tal que si $X$ es una variedad lisa de dimensión $n$ y la dimensión Kodaira $\kappa \geq 0$ entonces $\phi_{|kNK_X|}$ es birracional a la fibración de Iitaka para cualquier $k \geq 1$ .

En particular, debemos tener $h^0(NK_X) > 0$ por lo que si tiene $h^0(cK_X) = 0$ para algunos $c$ divisible por $N(n,0)$ ,... $N(n,n)$ entonces debe ser que $\kappa(X) = -\infty$ . Pedir $h^0(NK_X) > 0$ es, por supuesto, más débil que pedir que $\phi_{|NK_X|}$ ser birracional, por lo que presumiblemente los límites para tu pregunta deberían ser menores.

La conjetura aparentemente conocida en dimensión 2 y 3. Para $n = 3$ y $\kappa = 0$ el límite citado es $P_{2^5 \cdot 3^3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19}(X) > 0$ .

Answer 2

Supongo que en general la respuesta es NO.

Por ejemplo, si toma $X$ ser un $n$ variedad dimensional que es $Y\times E$ donde $E$ es una curva elíptica y $Y$ es un $n-1$ variedad dimensional de tipo general con crecimiento rápido pluricanónico general, digamos $Y$ es una hipersuperficie de grado grande $d$ para cualquier $M$ si lo desea $d$ suficientemente grande, $h^0(X,iK_X)$ puede vencer a cualquier secuencia de números $a_i$ $(0\le i\le M)$ que escribió para un fijo $n$ -dimensional de tipo general.