Estoy haciendo un trabajo de proyecto principalmente diciendo la relación entre la matriz jacobiana y lotka volterra método depredador presa , y tuve una duda,cuando encuentro los valores propios del sistema,tengo valores puramente imaginarios.que significa y como puedo concluir mi proyecto
Respuesta
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Amzoti
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Si utilizamos el modelo depredador-presa:
$$x' = a x - \alpha x y \\ y' = - b y + \beta x y$$
donde $a, b, \alpha, \beta$ son constantes positivas, empezamos por encontrar los puntos críticos. Los puntos críticos son:
$$(0, 0), \left( \dfrac{b}{\beta}, \dfrac{a}{\alpha} \right)$$
La matriz jacobiana viene dada por:
$$J(x, y) = \begin{bmatrix} a - \alpha y & -\alpha x\\ \beta y & -b + \beta x\end{bmatrix}$$
En $(0,0)$ tenemos:
$$ \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & -b \end{bmatrix}$$
Los valores propios son $a$ y $-b$ y, por tanto, un punto de silla inestable.
En $\left( \dfrac{b}{\beta}, \dfrac{a}{\alpha} \right)$ tenemos:
$$\begin{bmatrix} 0 & -\dfrac{\alpha b}{\beta} \\ \dfrac{a \beta}{\alpha} & 0 \end{bmatrix}$$
Los valores propios son $\pm~ i~ \sqrt{ a b}$ que es un centro estable.
Un ejemplo de sistema y retrato de fase que lo demuestra es:
Para ver ambos puntos críticos (silla de montar y centro), tenemos:
No nos importaría empezar con una población de $(0,0)$ o poblaciones negativas, por lo que no lo mostramos.
Si tomamos cualquier población inicial de guepardos y antílopes, y seguimos el retrato de fase, vemos que una especie empieza a dominar, pero luego las presas disminuyen, por lo que los depredadores disminuyen y nos encontramos en un estado de equilibrio (en el que una no aniquila a la otra).
