Tengo un anillo $R$ que se sabe que es un dominio Dedekind, pero no necesariamente un dominio euclidiano, y un ideal no nulo generado por uno o dos elementos de este anillo. ¿Cómo puedo comprobar si este ideal es un ideal primario?
Para los ideales generados por un elemento, esto equivale a ser un elemento principal en el anillo. Programé un clon del tamiz de Erathosthenes para mi anillo, pero esto sólo me muestra qué elementos son irreductibles, lo que no implica necesariamente la primacía.
Para ser más concretos, mi anillo $R$ es el anillo de números enteros en un campo numérico cuadrático imaginario $ \mathbb {Q}(d)$ (para $d$ un entero libre de cuadrado negativo).
Estos anillos tienen la forma $R = \mathbb {Z}[ \sqrt {-d}]$ o $R = \mathbb {Z}[ \frac {1+ \sqrt {-d}}{2}]$ dependiendo de $d$ . Estos son los dominios de Dedekind, y cada ideal allí es generado por uno o dos elementos.
Para algunos $d$ (como $-1$ , $-2$ , $-3$ ), estos son dominios euclidianos, donde puedo usar la división con el resto para encontrar el mayor divisor común de dos números, lo que significa que cada ideal es generado por un elemento.
Para otros (como $d = -7$ ), no hay división con resto, y no podemos usar el algoritmo euclidiano.
Pero incluso aquí todavía no está claro para mí: ¿cómo distinguir los elementos irreductibles de los primarios? El ejemplo más famoso: para $d = -5$ tenemos $R = \mathbb {Z}[ \sqrt {-5}]$ y el elemento $2$ no es el mejor aquí, ya que $2 \cdot 3 = 6 = (1+ \sqrt {-5}) \cdot (1- \sqrt {-5})$ y 2 no es un factor de ninguno de los dos términos en el lado derecho.
Probando los múltiplos, puedo encontrar números con diferentes descomposiciones, y entonces saber que esos factores no pueden ser primos. Pero, ¿cuándo puedo dejar de buscar, si no encuentro nada?
En este anillo en particular, los primeros elementos que aún no se muestran como unidades, irreducibles-no primos o compuestos (después de comprobar todos los elementos hasta aproximadamente $ \pm 50 \pm 50i$ ) son $ \pm \sqrt {-5}$ , $ \pm 4 \pm 2 \sqrt {-5}$ , $ \pm 6 \pm \sqrt {-5}$ . ¿Podría estar seguro aquí de que realmente hay primos?
Otro ejemplo, $d = -7$ , $R = \mathbb {Z}[ \frac {1+ \sqrt {-7}}{2}] = \mathbb {Z}[X]/(X^2+X+2)$ : Aquí encuentro muchos elementos irreducibles-no primos, y los únicos pequeños "irreducibles y aún no mostrados como no primos" son $ \pm \frac {1- \sqrt {-7}}{2}$ . (El ideal principal generado por estos elementos se ve muy parecido al creado por $ \frac {1+ \sqrt {-7}}{2}$ aunque - creo que simplemente hay un fallo en mi programa.)
Este anillo no es euclidiano, y supongo que la mayoría (si no todos, pero el ideal cero) de los ideales primarios son generados por dos elementos aquí. Si tengo un par de elementos candidatos, ¿cómo averiguo si es realmente un primo no cero (= máximo) ideal?
Cualquier idea sería útil, ya que estoy un poco atascado aquí. (La mayoría de la literatura sobre la teoría ideal computacional que encontré sólo funciona en anillos polinómicos sobre campos (y hace un gran uso de este hecho), por lo que no ayuda realmente aquí).
(Estoy escribiendo un programa que debería ser capaz de trabajar en cualquiera de estos anillos $R$ (y cualquier ideal allí), por lo que los hechos que sólo son válidos en un pequeño número de esos anillos son menos útiles. Pero siéntase libre de mencionarlos sin embargo, tal vez algunos de ellos pueden ser generalizados).
