Conversión de la integral a coordenadas cilíndricas

Question

Para los sistemas que presentan simetría cilíndrica, es natural realizar la integración en coordenadas cilíndricas $(r, \phi, z)$ Las relaciones entre coordenadas cartesianas y coordenadas cilíndricas son: $x= r\cos \phi$ , $y= r\sin\phi$ , $z=z$ ,

A continuación, convierta la integral $\int_{-1}^1 \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}\int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} xyz dz dx dy$

Primero he calculado las diferentes derivadas parciales para evaluar la jacobiana, lo que da como resultado $J= r$

Los límites de integración parecen inusuales. Por ejemplo, para $x$ va de $0$ a $\sqrt{1-y^2}$

¿Cómo puedo visualizar en qué cuadrante se encuentra o qué región del espacio estoy viendo?

A partir de aquí, ¿cómo puedo cambiar los límites de integración de $xyz$ a $r, \phi, z$

Answer 1

Suelo utilizar geogebra para visualizarlo. Aquí hay algunas imágenes

A vista de pájaro del eje zed, tenemos

De lado, tenemos

Como podemos ver, nuestra región de integración es simplemente el volumen entre el cono y el paraboloide, cortado por la mitad a lo largo del eje y (verde).

Para convertir esto a coordenadas cilíndricas, estableceremos los límites de zed, luego a $r$ y luego a theta.

Para zed, utilizaremos simplemente el paraboloide y el cono como límites. Podemos ver esto de la siguiente manera. Dibuja una línea que se extienda desde $z=-\infty$ a $\infty$ dentro del semicírculo que hemos visto anteriormente, y ver por dónde pasa. La recta pasará primero por el paraboloide, luego por el cono

Sin embargo, tenemos que cambiar esto por nuestras nuevas variables (es decir, de x, y a r, theta), por lo que simplemente tenemos que utilizar $\sqrt{x^2+y^2}=r$ por la definición para convertir nuestro límite inferior y superior para $z$ a $r^2$ y $r$ respectivamente.

Ahora, podemos deshacernos completamente del eje zed y mirar el $x-y$ plano en coordenadas polares. Nuestra región de integración es la siguiente (en amarillo), que es la proyección 2D de la intersección entre el paraboloide y el cono.

Para definir los límites r, observe que empezamos en el origen, y no importa qué flecha dibujemos desde el origen hasta el límite exterior, la magnitud de la flecha es siempre uno. Por lo tanto, los límites r son $0$ y $1$ .

Ahora, para definir theta, podemos utilizar nuestro $x$ eje como $0$ radianes, y a partir de ahí ir en sentido horario y antihorario para encontrar los límites, que son $-\pi\over2$ y $\pi\over2$

Por supuesto, como hay múltiples formas de representar la misma área en coordenadas polares, siempre puedes utilizarlas también y te darán la misma respuesta.

Por supuesto, para nuestra transformación de coordenadas cilíndricas $f(z, y, x)\mapsto f(r\cos\theta, r\sin\theta, z)$ nuestro jacobiano puede calcularse trivialmente como $r$ .

Por lo tanto, la integral que das es simplemente $$\int_{-1}^1 \int_{0}^{\sqrt{1-y^2}}\int_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}} xyz dz dx dy = \boxed{\int_{-{\pi\over2}}^{\pi\over2} \int_0^1 \int_{r^2}^r r\cos\theta\cdot r\sin\theta\cdot z\cdot r dzdrd\theta}$$

Si tuviéramos que evaluar esto, obtendríamos $0$ .

Answer 2

Paso 1: Conocer la región $E$ .

Por hipótesis del problema tenemos la región $E$ dado por $$E=\left\{(x,y,z):\underbrace{-1\leqslant y\leqslant 1, 0\leqslant x\leqslant \sqrt{1-y^{2}}}_{(*)}, x^{2}+y^{2}\leqslant z\leqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}$$

Paso 2: Para escribir la región cilíndrica $E^{*}$ .

Se puede escribir en coordenadas cilíndricas como $$E^{*}=\left\{(r,\theta,z): (r,\theta)\in D,\, r^{2}\leqslant z\leqslant \sqrt{r^{2}}\right\},$$ con la región polar $D$ .

Paso 3: Conocer la región polar $D$ .

Para saber $D$ tenemos que trabajar con $(*)$ podemos ayudarnos con una trama como de costumbre.

De ella se desprende que $\theta$ funciona desde $-\pi/2$ (o $3\pi/2)$ a $\pi/2$ y el radio $r$ funciona desde $0$ a $1$ . Así, $$D=\left\{(r,\theta): 0\leqslant r\leqslant 1, 3\pi/2\leqslant \theta\leqslant \pi/2\right\}$$ o equivalentemente $$D=\left\{(r,\theta): 0\leqslant r\leqslant 1, -\pi/2\leqslant \theta\leqslant \pi/2\right\}$$

Paso 4: Aplicar el teorema del cambio de variables en términos de coordenadas cilíndricas.

El teorema del cambio de variables dice que $$\iiint_{E}f(x,y,z)\, dV=\iiint_{E^{*}}f(r,\theta,z)\, |J(r,\theta,z)|\,dzdrd\theta,$$ donde $J(r,\theta,z)$ es el jacobiano del cambio de variables, que en este caso tenemos $J(r,\theta,z)=r$ .

Paso 5: Hallar la integral múltiple de $f$ en $E\to E^{*}$ .

En este caso,

\begin{align*}\int_{-1}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}xyz\, dzdxdy&=\int_{3\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{r}r^{3}\cos\theta\sin\theta z\, dzdrd\theta\\ &=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{r}r^{3}\cos\theta\sin\theta z\, dzdrd\theta\\ &=0 \end{align*}

NB: Por supuesto, podríamos haber pensado en un argumento por simetría para concluir que la respuesta es $0$ que en este caso es factible.