Si $\lim u_n =\infty$ y $\lim(u_{n+1} - u_n)=0$ entonces $\lim (u_{\varphi(n)} -n)=0$

Question

Supongamos que $(u_n)$ es una sucesión real tal que $\lim u_n =\infty$ y $\lim(u_{n+1} - u_n)=0$ . Quiero demostrar que existe un mapa estrictamente creciente $\varphi : \mathbb N \to \mathbb N$ tal que entonces $\lim (u_{\varphi(n)} -n)=0$ .

Tengo una prueba que no es tan magra como supongo que puede ser...

¿Tiene una prueba precisa pero elegante de este sencillo resultado?

Answer 1

Tuve esta idea, que no parece muy complicada.

Para cualquier $\;k\in\Bbb N\;$ , dejemos que $\;\phi(k)\;$ sea el primer número natural tal que $\;u_{\phi(k)}> \max\{k,\,\phi(k-1))\}\;$ , Claramente

$\;\phi(1)<\phi(2)<\ldots\;$ y, por tanto $\;\left\{u_{\phi(k)}\right\}_{k=1}^\infty\;$ es una subsecuencia de $\;\left\{u_n\right\}_{n=1}^\infty\;$ así que

$$\lim_{k\to\infty}u_{\phi(k)}=\lim_{n\to\infty}u_n=\infty$$

Pero también, por la propia definición de $\phi\;$ tenemos que $\;u_{\phi(n)-1}< n\le u_{\phi(n)}\implies\;$

$$\implies0\le u_{\phi(n)}-n< u_{\phi(n)}-u_{\phi(n)-1}\xrightarrow[n\to\infty]{}0$$

y el teorema del apretón resuelve