Hallar el área sombreada de la curva con el intervalo de valores de $y$

Question

La parábola del diagrama tiene ecuación $y = 32 - 2x^2$

La zona sombreada se encuentra entre las líneas $y=14$ y $y=24$

Mirando la gráfica, sólo necesito hallar la mitad del área y multiplicar por 2.

Puedo obtener mi rango de valores x configurando $y = 32-2x^2$

$2x^2 = 32$

$x^2 = 16$

$x = \pm 4$

$2\int^{4}_0 32 - 2x^2 dx$

$2[32x - \frac{2x^3}3]^4_0$

Podría encontrar toda el área de la mitad de la parábola de esta manera, pero no entiendo cómo limitar esto a los valores de y de esta manera.

Answer 1

Consideremos la región de la siguiente manera:

Como ha dicho antes, sólo necesitamos una mitad y multiplicarla por $2$ . Efectivamente, $y=32-2x^2$ nos da $x^2=\frac{32-y}{2}$ y luego $x=\pm \sqrt{\frac{32-y}{2}}$ . Nos nned, aquí, sólo el $+$ signo ya que consideramos la primera parte de $xy$ plano. Ahora debes trabajar en la siguiente integral:

$$\int_{14}^{24} x dy$$

Answer 2

Considere la función inversa, el área se puede calcular wrt eje de simetría.

$$ x = 32 -2 y^2 ,\, Area = 2 \int_{14}^{24} x \, dy = 2 \int_{14}^{24} (32 -2 y^2) dy $$

Answer 3

Resolución de la ecuación $32-2x^2=24$ , resp., $=14$ para $x$ muestra que el límite superior interseca la parábola en $x=\pm2$ el límite inferior en $x=\pm3$ . De ello se deduce que la superficie total viene dada por $$A=2\left(2\cdot(24-14)+\int_2^3\bigl((32-2x^2)-14\bigr)\>dx\right)={152\over3}\ .$$