Espacio de Sobolev homogéneo y distribuciones

Question

La forma estándar de definir el espacio de Sobolev homogéneo $\dot{H}^m(\mathbb R^n)$ para $m\in \mathbb N$ es a través de la condición $f\in \dot{H}^m(\mathbb R^n)$ sólo si $f \in \mathscr S' (\mathbb R^n)$ (el espacio de Schwartz) y $\||\xi|^m \hat f\|_{L^2} < \infty$ . Hace poco me encontré con la siguiente definición

$$ \dot{H}^m(\mathbb R^n) = \{f\in \mathscr D' (\mathbb R^n)| \nabla^m f\in L^2(\mathbb R^n)\}, $$ donde $\mathscr D' (\mathbb R^n)$ denota el espacio de distribuciones.

¿Es posible demostrar que esas dos definiciones son equivalentes? Una dirección es trivial ya que $\mathscr D (\mathbb R^n)\subset \mathscr S (\mathbb R^n)$ y así $\mathscr S' (\mathbb R^n)\subset \mathscr D' (\mathbb R^n)$ .

Editar También sabemos $\dot H ^m (\mathbb R^n) \subset L^2_{loc} (\mathbb R^n)$ . Esto se deduce del hecho de que una distribución con derivadas parciales en $L^2_{loc}$ está en $L^2_{loc}$ .

Gracias por cualquier sugerencia :)

Answer 1

El espacio de Sobolev debe ser un subespacio de $L^2$ . Así, la definición que conozco es que se consideran distribuciones (templadas) que son regulares (inducidas por una función) y esa función está en $L^2$ . El que la distribución esté templada o no depende de si se necesita la transformada de Fourier para definir la norma o no. A menudo, siempre se utilizan distribuciones atemperadas como marco para definir espacios de funciones en todo el espacio y sólo se pasa a distribuciones generales cuando se trata de espacios en dominios.