¿Cuál es la diferencia entre ${\{a}\}$ y $a$ ?

Question

${\{a}\}={\{a,{\emptyset}}\}$ $a={\{a,{\emptyset}}\}$$ {\implica}{\{a}\}=a$

¿En qué se equivoca?

Y si en realidad es correcto, ¿cómo resolvemos el problema con el axioma ZFC de fundación preguntó ¿Aquí?

Las respuestas parecen resolverlo diciendo que $a{\{a}\}$ , pero por la prueba en el comienzo de mi post $a={\{a}\}$ .

Answer 1

$$\{a\}=\{a,\emptyset\}\land a=\{a,\emptyset\}\implies\{a\}=a$$

Esta proposición es cierta porque $\text{FALSE}\implies\text{FALSE}$ .

En particular {a}={a,Ø} es FALSO por la Extensionalidad y ambos $a=\{a,\emptyset\}$ y $\{a\}=a$ son $\text{FALSE}$ por la Fundación.

Answer 2

${\{a}\}={\{a,{\emptyset}}\}$ se equivoca. ¿Por qué cree que se mantiene la igualdad?

Answer 3

$\{a\}\neq \{a,\emptyset\}$ porque el primer conjunto tiene un elemento y el segundo tiene dos elementos (excepto en el caso $a=\emptyset$ como señala GEdgar en un comentario), por lo que no pueden ser iguales.

$a\neq \{a,\emptyset\}$ porque $a\notin a$ .