Estoy teniendo problemas para comprender el grupo de Picard de un anillo, y pensé que tal vez sería más fácil si tuviera algunos ejemplos de cálculos reales de grupos de Picard en los que fijarme.
Por lo tanto, mi pregunta para ustedes es, dado el anillo $\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2+y-z)$ ¿Cómo se puede encontrar al grupo Picard?
EDITAR 1: Viendo que esta pregunta ya ha recibido 3 votos para cerrarla por no seguir las normas comunitarias adecuadas, permíteme decir que entiendo tus preocupaciones. ¡Sólo dame otras dos horas o así para llegar a casa y elaborar un poco, y espero que debería ser capaz de rectificar eso!
EDITAR 2: Bien, pues la queja planteada contra esta pregunta ha sido que no sigue ciertas normas para las preguntas de este maravilloso foro, concretamente las siguientes:
Por favor, proporcione un contexto adicional, que idealmente explique por qué la pregunta es relevante para usted y nuestra comunidad. Algunas formas de contexto incluyen: antecedentes y motivación, definiciones relevantes, fuente, posibles estrategias, su progreso actual, por qué la pregunta es interesante o importante, etc.
Y, digo yo, me parece justo. Estaba bastante fuera de contexto, ahora intentaré remediarlo.
La analogía más cercana que se me ocurre para hallar el grupo de Picard de un anillo es hallar el anillo de representación de un grupo finito, algo que es una pregunta estándar para hacer en casa en los cursos de licenciatura en teoría de grupos y representaciones. Normalmente, los grupos que son objeto de interés en estos deberes no son demasiado sofisticados, pero tampoco demasiado triviales. Cosas como, por ejemplo, el grupo de simetría tetraédrica o el grupo de simetría octaédrica, etc.
Sin embargo, cuando se trata de encontrar estos anillos de representación (la pregunta suele formularse más bien como encontrar la tabla de caracteres reducida (que, por supuesto, es equivalente), el estudiante dispone de muchas herramientas que se explican con todo detalle durante las clases. Se les da la teoría de caracteres con sus funciones de clase, sus productos internos y el Gran Teorema de Ortogonalidad. Se les da el lema de Schur y el teorema de Maschke, a partir de los cuales se les da el resultado de que pueden descomponer la representación regular en las representaciones irreducibles (hasta isomorfismo) de una forma bastante clara. Y se les da el resultado de que existe una biyección entre las clases de conjugación de un grupo y las representaciones irreducibles del mismo.
En consecuencia, aunque pueda resultar tedioso, tienen todos los ingredientes para calcular realmente la tabla de caracteres reducida del grupo.
Y así, supongo que mi verdadera pregunta aquí es, no específicamente, ¿cuál es el grupo Picard de $\mathbb{C}[x,y,z]/(x^2+y-z)$ ¿Cómo se puede encontrar el grupo de Picard de un anillo, del mismo modo que se encuentra el anillo de representación de un grupo finito? ¿Cuál es la "analogía" del lema de Schur, el teorema de Maschke, el producto interior de caracteres, etc.? ¿Cuál es el proceso?
Espero que esto le satisfaga y le proporcione el contexto que solicitaba.
