Diagonalizar un $2 \times 2$ y $3 \times 3$ matriz

Question

Para cada una de las siguientes matrices $A$ encontrar una matriz invertible $P$ en $C$ s $P^{-1}AP$ es triangular superior:

$$A = \begin{bmatrix}4 & 1\\-1 & 2\end{bmatrix} \quad \text{ and } \quad A = \begin{bmatrix}1 & 1 & 1\\1 & 1 & 1\\0 & 0 & 0\end{bmatrix}.$$

Para la primera matriz, calculo que el valor propio es $3$ con multiplicidad algebraica $2$ . Sin embargo, sólo puedo encontrar un vector propio para él, a saber $\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ .

El segundo tiene dos valores propios, $0$ (multiplicidad $2$ ) y $2$ (multiplicidad $1$ ) Pero de nuevo, para el valor propio $0$ no puedo encontrar dos vectores propios linealmente independientes.

Entonces, ¿cómo hago para encontrar $P$ en estos casos?

Answer 1

Para la primera matriz, su trabajo es correcto.

Necesitamos encontrar un vector propio generalizado.

Un enfoque para esto (¿aprendiste por qué en clase), es configurar:

$$[A - \lambda I]v_2 = v_1$$

Voy a escribir el vector propio con los signos intercambiados para el primero.

Tenemos $v_1 = (-1, 1)$ por lo que tendríamos:

$$[A -\lambda I]v_2 = v_1 \rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1\\-1 & -1\end{bmatrix}v_2 = \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$$

Resolviendo esto (usar RREF), obtenemos un segundo eigenvector linealmente independiente de:

$$v_2 = (-1, 0)$$

La matriz $P$ se forma como combinación lineal de los vectores propios como $[v_1 | v_2]$ así que tenemos:

$$P = [v_1 | v_2] = \begin{bmatrix}-1 & -1\\1 & 0\end{bmatrix}$$

Esto conducirá a la Forma normal de Jordania para la matriz triangular superior como:

$$J = P^{-1}AP = \begin{bmatrix}3& 1\\0 & 3\end{bmatrix}$$

También hay que tener en cuenta que existen otros métodos y que a veces son más necesarios que el método descrito anteriormente.

¿Puede utilizar el método anterior para su segundo problema y ver si da frutos?

Por ejemplo, encontramos dos valores propios de $\lambda_1 = 2 and \lambda_{2,3} = 0$ . Para el $\lambda_{2,3} eigenvalor, tendremos una fila-reducido-echelon-forma de:

$$a+b+c = 0$$

Necesitamos dos opciones linealmente independientes y tenemos muchas variables libres para elegir. Por ejemplo, podemos elegir:

$$v_2 = (-1, 0, 1), v_3 = (-1, 1, 0)$$

Para el $\lambda_1=2$ valor propio, formamos:

$$[A-\lambda_1 I]v1 = 0$$ .

Después de RREF esa matriz, llegamos a: $v_1 = (1,1,0)$

Recuerde que tiene que repetir este proceso para CADA valor propio.

Así que, para resumir, deberíamos llegar a (no se necesitan eigenvectores generalizados debido a la multiplicidad geométrica y algebraica):

$$\lambda_1 = 2, v_1 = (1, 1, 0)$$

$$\lambda_2 = 0, v_2 = (-1, 0, 1)$$

$$\lambda_3 = 0, v_3 = (-1, 1, 0)$$

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo. Tenga en cuenta que no necesaria para encontrar la forma de Jordan de $A$ . Así, cuando $A$ es $n\times n$ sólo tiene que encontrar un vector propio de longitud $n$ .

Más concretamente, supongamos $(\lambda_1,v_1)$ es un par propio de $A$ . Ampliar $v_1$ a una base $\{v_1,\ldots,v_n\}$ de $\mathbb{C}^n$ y juntar los vectores base para formar una matriz invertible $P_n$ . Entonces $$ AP_n=(\lambda_1v_1,\,Av_2,\,\ldots,\,Av_n) =P_n(\lambda_1e_1,\,P^{-1}Av_2,\,\ldots,\,P^{-1}Av_n) $$ donde $e_1=(1,0,\ldots,0)^T$ . En otras palabras, $$ P_n^{-1}AP_n=\pmatrix{ \lambda_1&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ } =\pmatrix{\lambda_1&u^T\\ 0&B} $$ para algunos $(n-1)$ -vector $u$ y alguna matriz $B$ de orden $n-1$ . Por lo tanto, si $(\lambda_2,w)$ es un par propio de $B$ y $P_{n-1}$ es una matriz invertible cuya primera columna es $w$ entonces $$ \pmatrix{1\\ &P_{n-1}^{-1}}(P_n^{-1}AP_n)\pmatrix{1\\ &P_{n-1}} =\pmatrix{ \lambda_1&\ast&\ast&\cdots&\ast\\ 0&\lambda_2&\ast&\cdots&\ast\\ 0&0&\ast&\cdots&\ast\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\ast&\cdots&\ast\\ }. $$ Procediendo recursivamente, se obtiene una matriz triangular superior.

Para sus dos $A$ s, ocurre (por diferentes razones) que sólo necesita un a cada uno para obtener una matriz triangular. Tome su segundo $A$ (que es $3\times3$ ) como ejemplo. $(1,1,0)^T$ es un vector propio de $A$ correspondiente al valor propio $2$ . Por lo tanto, si ponemos $$ P_3=\pmatrix{1&\ast&\ast\\ 1&\ast&\ast\\ 0&\ast&\ast} $$ donde la segunda y tercera columnas son arbitrarias (siempre que $P_3$ es invertible), tenemos $$ P_3^{-1}AP_3 = \pmatrix{2&\ast&\ast\\ 0&0&0\\ 0&0&0}. $$ (Ejercicio: Para cada uno de los dos $A$ s en cuestión, ¿por qué basta con un solo disparo?).