Convergencia en la $L^1\cap L^2$ .

Question

Así que si $(f_n)_n\subset L^1\cap L^2(\mathbb{R})$ , $f_n\rightarrow f$ en $L^1$ norma y $f_n\rightarrow g$ en $L^2$ norma. ¿Sigue $f=g$ a.e y $f\in L^1\cap L^2$ ? En términos más generales, si $(f_n)_n$ bajo una norma en $L^1\cap L^2$ : ( $|\cdot |=\max(|\cdot |_1, |\cdot |_2)$ ) convergen a $f$ ¿se deduce $f\in L^1\cap L^2$ ? Sé que $L^1\cap L^2\subset L^r$ para cualquier $1\leq r\leq 2$ .

¿Alguna pista, alguna idea?

Answer 1

Si $f_n\to h$ en $L^p$ norma entonces $f_n\to h$ en casi todas partes, al menos a lo largo de una subsecuencia. Pasando a la subsecuencia (habrá que hacerlo dos veces, una para cada norma), $f_n\to f$ en casi todas partes y $f_n\to g$ en casi todas partes. Por lo tanto $f$ y $g$ debe estar de acuerdo en casi todo.