Considere la Sturm-Liouville regular problema en forma autoadjunta $$(A-\zeta)\,v=f$$ cuya solución explícita es $$v=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds$$ donde la función de Green $$G(x,s)=\begin{cases}\frac{\varphi_b(x)\,\varphi_a(s)}{W(s)},&a\leq{s}\leq{x}\\[0.1in]\frac{\varphi_a(x)\,\varphi_b(s)}{W(s)},&x\leq{s}\leq{b}\end{cases}$$ es construido por las soluciones $\varphi_a$ , $\varphi_b$ de la ecuación $A\,\varphi=0$ que satisfacen las respectivas condiciones de contorno en $x=a,b$ . Es un largo camino para llegar hasta aquí, pero puedes verificarlo. El resolvente asociado a $A$ viene dado por $$R(A,\zeta)\,f=\int_a^bG(x,s)\,f(s)\,ds$$ Ahora, mostrando que un operador $K$ cuyo núcleo $k(x,s)$ satisface $$\int_a^b\int_a^b\left|k(x,s)\right|^2ds\,dx<\infty\hspace{0.5in}(*)$$ es compacta (es decir, las funciones $k$ son de cuadrado-integrable), puede utilizarse para demostrar que si la función de Green $G$ del operador resolvente $R$ es continua, entonces $G$ satisface la ecuación $(*)$ en un intervalo finito $[a,b]$ lo que significa que $R$ es un operador autoadjunto compacto para problemas regulares de Sturm-Liouville. Podrías hacer esto último en general, y simplemente demostrar que con el operador $$\hat{H}\equiv{T}=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V$$ (el Hamiltoniano ), el problema de valores propios $\hat{H}\psi=E\psi$ (conocida como ecuación estacionaria -o independiente del tiempo- de Schrödinger) puede reducirse a un problema regular de Sturm-Liouville.
Todo esto porque, complementando lo que has dicho, los valores propios del problema $T\varphi_k=\lambda_k\varphi_k$ para un operador simétrico compacto $T$ en un espacio de Hilbert $H$ con producto interior $\langle\cdot\mid\cdot\rangle_H$ son un conjunto acotado contablemente infinito que converge a cero, $\displaystyle{\lim_{k\to\infty}\lambda_k=0}$ . Otras propiedades (bastante relevantes) son que la multiplicidad de cada valor propio $\lambda_k$ es finito, y que el conjunto de todas las funciones propias $\varphi_k$ definen una base completa del espacio $H$ de modo que cualquier elemento $f$ de $H$ puede expandirse como $\displaystyle{f=\sum_{k=1}^\infty{f_k}\,\varphi_k}$ .
Actualización
Tenga en cuenta la relevancia de la condición $\boxed{\displaystyle{E<\lim_{|x|\rightarrow \infty}V(x)}}$ . Considera la siguiente imagen como ilustración (la he tomado directamente de la web, así que aprovecha el potencial $V=U$ ); como las matemáticas son bastante sencillas, esta vez me centraré un poco más en la imagen física
![]()
con la condición anterior, los resultados encontrados son válidos para la ecuación $\hat{H}\psi=E_i\psi$ con $i=0,1$ . De hecho, ambas ecuaciones pueden presumiblemente reducirse a un problema S-L normal porque serían los que tienen un pozo potencial finito o penetrable donde podemos conocer el espectro de energía sólo a partir de $\psi$ en el pozo potencial, es decir, para un intervalo finito, mientras que considerando $i=2$ el intervalo para $\psi$ sería inevitablemente infinita y es evidente que $\hat{H}\psi=E_i\psi$ no podría reducirse a un problema S-L regular y, por tanto, el espectro de energía presumiblemente no sería discreto. Siéntete libre de considerar cualquier potencial que desees.
Esto corresponde a una bella analogía con la mecánica clásica cuando encontramos cerrados o abiertos órbitas que aquí son acotados y no acotados estados (espero haber traducciones derecha) respectivamente. Pensemos en un núcleo masivo y un electrón que interactúan mediante un potencial de Columb atractivo. Si se cumple la condición anterior, el sistema puede ser un átomo de tipo hidrógeno que tendría un espectro de energía discreto, como es sabido. Aunque si alguien disparara el electrón contra el núcleo desde muy lejos y con suficiente energía cinética, la energía total sería positiva y el núcleo desviaría el electrón sin capturarlo y sin cambiar su energía, que evidentemente es libre de tomar cualquier valor. El caso más sencillo para un espectro energético continuo en QM es el de la partícula libre, es decir $V(\mathbf{r})=0,\,\forall\mathbf{r}\in\mathbb{R}^3$ la condición de normalización $\int\psi^*_n\psi_m\,dx=\delta_{nm}$ no es válida y puede generalizarse utilizando la delta de Dirac, también las funciones de onda pertenecen estrictamente a un espacio de Banach.
