Definición. $h(n_1,n_2)$ es el menor número $m$ tal que, si las aristas de $K_m$ se colorean con dos colores, $1$ y $2,$ entonces por algo de color $i\in\{1,2\}$ existe un conjunto $W\subseteq V(K_m)$ tal que $|W|=n_i$ y cada triángulo en $W$ tiene un número impar de aristas de color $i;$ en otras palabras, para algunos $i\in\{1,2\},$ el grafo formado por las aristas de color $i$ tiene un subgrafo inducido $H$ de orden $n_i$ tal que $H$ tiene como máximo dos componentes, y cada componente de $H$ es una camarilla.
Pregunta 1. ¿Existe bibliografía sobre $h(n_1,n_2)$ ?
Pregunta 2. Es $h(4,5)=8$ ?
He aquí algunos límites fáciles para $h(n_1,n_2)$ en términos de números ordinarios de Ramsey.
Definición. El número de Ramsey $R(n_1,n_2;d)$ es el menor número $m$ tal que, dado un $m$ -conjunto de elementos $V$ y cualquier conjunto $S\subseteq\binom Vd,$ podemos encontrar un conjunto $W\subseteq V$ de forma que $|W|=n_1$ y $\binom Wd\cap S=\emptyset,$ o bien $|W|=n_2$ y $\binom Wd\subseteq S.$
Definición. Como en mi pregunta anterior Un divertido número de Ramsey , $f(n)$ es el menor número $m$ tal que, dado un $m$ -conjunto de elementos $V$ y cualquier conjunto $S\subseteq\binom V3,$ podemos encontrar un $n$ -conjunto de elementos $X\subseteq V$ tal que, para cada $4$ -conjunto de elementos $Y\subseteq X,$ tenemos $|\binom Y3\cap S|\equiv0\pmod2.$
Límite superior: $h(m+1,n+1)\le R(m,n;2)+1.$
Límite inferior: $f(h(m,n))\ge R(m,n;3).$
En relación con $h(4,5),$ Sé que $$8\le h(4,5)\le10.$$ Por un lado, $h(4,5)\le R(3,4;2)+1=10.$ Por otra parte, ver que $h(4,5)\gt7,$ tomar un ciclo hamiltoniano $C$ en $K_7$ y colorear los bordes de $C$ con color $2$ y el resto con color $1.$ (Este es el más sencillo de un montón de $7$ -señalar contraejemplos). No he encontrado ningún contraejemplo a la conjetura de que $h(4,5)=8.$
