Comprueba si las expresiones existen como integrales de Lebesgue.

Question

Como físico, utilizar la integración es mucho más a menudo computar cosas que lidiar con este tipo de problemas. ¿Puede alguien ayudarme a abordar problemas como los siguientes para un próximo examen de "Análisis Avanzado para Físicos"?

"Analice si las siguientes expresiones existen o no como integrales de Lebesgue"

1. $\int_{0}^{\infty}\dfrac{\sin(4x-7)}{\sqrt{3x^3+x+9}} \mathrm{d}x$

   2. $\int_\mathbb{R^2}(x^2+y)e^{-|x|-|y|}\mathrm{d}x \mathrm{d}y $

¡Tengo muchos más ejemplos para practicar, estoy buscando cuál es la condición que uno debe buscar para tales preguntas y tal vez una solución completamente expuesta!

Agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

En 1) el integrando $f$ cumple la desigualdad $|f(x)| \leq \frac 1 {\sqrt {3x^{3}}}$ para $x>1$ y $|f(x)| \leq \frac 1 3$ para $x <1$ y por tanto la función es integrable.

Para 2) utilizar la serie de potencias para $ e^{|x|/2}$ para ver que $x^{2}e^{-|x|} \leq 8e^{-|x|/2}$ . Del mismo modo, $|ye^{-|y|}| \leq 2e^{-|y|/2}$ . ¿Puedes completar el argumento ahora?