Series de Fourier: $\lim_{n\to\pm\infty} n^p \hat{f}(n) = 0$

Question

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ , $f\in C^\infty$ (diferenciable infinitas veces) y periódica, $T=2\pi$ . Demostrar que para cada $p>0$ : $$ \lim_{n\to\pm\infty} n^p \hat{f}(n) = 0$$

Así que sé que $\lim_{n\to\pm\infty} \left| \hat{f}(n)\right| = 0$ (= lema de Riemann-Lebesgue), pero por supuesto esto no es suficiente.

También intenté mirar el límite: $$\lim_{n\to\pm\infty} n^p \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt$$

Pensé en evaluar la integral de alguna manera. Integrar por partes no es posible porque no sabemos $F(x)$ existe.

¿Qué me estoy perdiendo entonces?

Answer 1

Sea $c_n(f)=\hat{f}(n)$ . Entonces $c_n(f^{(k)})=(in)^k c_n(f)$ para todos $k\geqslant 0$ por integración por partes (¡se puede hacer integración por partes!). Ahora para $k>p$ (nota $f\in C^\infty$ ) tenemos $|n^p c_n(f)|=|n^{p-k}c_n(f^{(k)})|\rightarrow 0$ (utilizando el lema de Riemann Lebesgue para $f^{(k)}$ ).