Elevar algo a un número imaginario es un poco raro, tengo un tiempo difícil de envolver mi cabeza alrededor de eso.
Y e parece aún más común y se da en muchas situaciones, tales como:
Realmente me gustaría tener algo de luz sobre el asunto.
¿Cómo puedo comenzar a formar un alcance intuitivo de $e^i$ ?
Esencialmente, el complejo exponencial caracteriza a las rotaciones. No voy a entrar en los cálculos de las "razones" de por qué las ecuaciones son "verdaderas", sino más bien ampliar sobre cómo obtener un sentido intuitivo de lo que significan. Esta discusión va a ser bastante informal.
El imaginario exponencial se caracteriza por $$e^{i y} = \cos(y) + i\sin(y)$$ donde $y\in\mathbb{R}$ y la plena exponencial puede ser definida como $$e^z = e^{x+iy} = e^x\cos(y) + ie^x\sin(y)$$ donde he escrito $z\in\mathbb{C}$ en términos de sus partes real e imaginaria de $x\ y\in\mathbb{R}$.
Ahora los números complejos son simplemente elementos de $\mathbb{R}^2$ impuso con una estructura especial. Así que si usted respecto $e^{i y}$ como un punto en el plano complejo, se puede ver que el punto se encuentra en el círculo unidad, con las coordenadas de $\left(\cos(y),\ \sin(y)\right)$. Más precisamente, con nuestro tradicional de la convención de la medición de ángulos contador de las agujas del reloj desde el positivo de $x$ (en este caso Real), el eje, vemos que $e^{i y}$ es un punto en el círculo unitario que forma ángulo $y$ (en Radianes) con el eje Real positivo.
En este sentido, $e^i$ es sólo un punto en el círculo unitario, que es precisamente $1$ radian contador de las agujas del reloj desde el eje real positivo. Esto también ayuda a explicar por qué $e^{i\pi} = - 1$. Una rotación de $\pi$ desde el eje real positivo es sólo el lado opuesto, es decir, el eje real negativo.
Ahora con el complejo completo exponencial, la parte imaginaria de a $z$ significa que la rotación de los aspectos de la serie, mientras que la parte real del número significa la magnitud. Cada número complejo se le asigna una magnitud y un ángulo (llamado el argumento). Esto se hace precisamente con la exponencial compleja.
Usted puede recordar que la multiplicación de dos números complejos es equivalente a la rotación de un número por el ángulo de la segunda (y, a continuación, aplicar el correcto estiramientos y compresiones). Pero observe que cuando lo hacemos girar algo, todo lo que realmente estamos haciendo es añadir la correspondiente ángulos juntos. Por lo complejo de la multiplicación está conectado el real de la suma de ángulos. En retrospectiva, probablemente parece natural que la exponencial debe ser de alguna manera relacionados con el complejo de rotaciones: El mapa que lleva a un ángulo de punto deben satisfacer $$f(\theta_1 + \theta_2) = f(\theta_1)f(\theta_2)$$ que es una propiedad que caracteriza a la función exponencial.
Las otras respuestas son muy agradables. Tan solo me gustaría añadir cómo funciona esto, porque es muy ingenioso y algo sorprendente si ves la primera vez. Mira la serie de la definición de $\exp(x)$:
$$ \exp x = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \ldots $$
Cuando $x$ es real, esto es bastante simple comportamiento, crece monótonamente. Sin embargo, si usted permite que los números complejos, puedes obtener los signos menos en el mismo, ya de $i^2 = -1$. Deje que $x = i\alpha$, y luego:
$$ \exp i\alpha = \sum_{k=0}^\infty \frac {i\alpha)^k}{k!} = 1 + i\alpha \frac{\alpha^2}{2} - i\frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^4}{4!} + i\frac{\alpha^5}{5!} + \ldots $$
Dos cosas interesantes que suceda:
Si se recogen todos los términos raros, que son imaginarios, se obtiene:
$$ \mathrm{Im}\,(\exp i\alpha) = \alpha \frac{\alpha^3}{3!} + \frac{\alpha^5}{5!}- \frac{\alpha^7}{7!}\pm \ldots = \sin \alpha $$ y esto pasa a ser exactamente la expansión de Taylor de $\sin\alpha$! Comience con el valor de $\sin(0)=1$, como primera aproximación, y mantenga la adición de Taylor términos. Desde $\pecado'0 = \cos 0 = 0 $ no es $\alpha^1$ plazo, pero $\pecado"0 = -1$, entonces $\alpha^2$ plazo es negativo, y así sucesivamente. Cada término invierte el signo y añade dos curvas, y usted aproximado de $\sin \alpha$, mejor y mejor. Una buena foto de un artículo de wikipedia serie de Taylor:
Todas las términos del poder son reales, y que dan $\cos \alpha$:
$$ \mathrm{Re}\,(\exp i\alpha) = 1 - \frac{\alpha^2}{2!} + \frac{\alpha^4}{4!} -\frac{\alpha^6}{6!} \pm \ldots = \cos \alpha $$
Que permite escribir la bella fórmula de Euler:
$$ \exp i\alpha = \cos \alpha + \sin \alpha $$
Como ya se ha dicho en las otras respuestas, usted puede pensar de $\alpha$ como el ángulo desde el eje x (en sentido antihorario). Ya que para los números complejos, convencionalmente $z= x + iy$, se sigue que $x = \cos \alpha$ y $y = \sin \alpha$. Si estoy haciendo, por ejemplo, algunos de gráficos por ordenador de los cálculos, a menudo todo lo que necesitas recordar es "$x = \cos$" y todo lo demás cae en su lugar. Otra Wikipedia ilustración de esto:
$e^{i\pi}=-1$ es un caso especial de
La fórmula de Euler: $e^{i\theta}=\cos{\theta}+\sin{\theta}$
que se puede leer en muchos, muchos lugares. La prueba viene la energía de la serie de $e^x$, $\sin{x}$ y $\cos{x}$.
La forma intuitiva de pensar acerca de esto es la interpretación geométrica de los números complejos como un avión: un eje real y eje imaginario. (Recordar que todos los números complejos tienen la forma $a+ib$, $a,b\in\mathbb{R}$.) Cada número complejo puede ser expresado también como $z=|z|e^{i\theta}$ $\theta$ (esto es esencialmente coordenadas polares).
Así, $e^{i\theta}$ representar los números complejos de la magnitud de 1$$, es decir, el círculo unidad en el plano complejo.
En esta respuesta, voy a mostrar que $$ e^{ix}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n=\cos(x)+i\sin(x) $$ utilizando las propiedades geométricas de los complejos de la multiplicación. Se sostiene allí que, como se muestra en esta respuesta, ya que $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1 $$ y $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x^2}{n^2}\right)^{n/2}=1 $$ que el producto de $n$ copias de $1+ix/n$
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es decir, $$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{ix}{n}\right)^n $$ tiene una longitud de 1 $$ y el argumento de $x$, lo que significa que es igual a $$ \cos(x)+i\sin(x) $$
¿Conoces bien la serie de encendido de la función exponencial? \exp$ $(x) = \sum_ {k = 0} ^ \infty \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac {x ^ 2} {2} + \frac {x ^ 3} {3\cdot 2} + \dots$ $ y en especial $$\exp(ix)=\cos(x) + \sin(x)$ $ la función de $ $e es tan común porque es la única función que tiene $$f'(x)=f(x) \quad f (0) = 1$ $ $ $x todos
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