Subespacio afín equivalente

Question

Sea $X$ sea un espacio afín sobre un espacio vectorial $V$ tal que $\emptyset \neq Y \subset X$ y considera las 2 afirmaciones siguientes:

(1) $Y \leq_a X$

(2) Existe un subespacio $W \leq V$ tal que $Y$ i sobre $W$

No es difícil demostrar que (2) se deduce de (1), pero mi profesor me dijo que lo contrario no es cierto.

Sin embargo, argumenté de la siguiente manera para demostrarlo y no veo dónde falla mi prueba. Si alguien puede indicarme el fallo de mi prueba, y si es posible puede proporcionar un contraejemplo a la inversa, estaría muy contento.

He aquí mi intento:

Sea $y_1, \dots, y_n \in Y, a_1, \dots a_n \in F$ tal que $\sum_i a_i = 1$ .

Por definición de espacio afín, tenemos entonces una acción $\lambda: W \times Y \to Y: (w,y) \mapsto y + w$ .

Ahora, dejemos que $y \in Y$ y considerar la combinación afín $\sum_i a_i y_i = y + \sum_i a_i(y_i - y)$ que puede escribirse como $\lambda\left(\sum_i a_i(y_i -y),y\right) \in Y$ de forma que $Y \leq_a X$

Es interesante saberlo:

Se puede definir un espacio afín $X$ sobre un espacio vectorial $V$ si existe una acción $\lambda: V \times X \to X$ tal que:

1) $\lambda(0,x) = x$

2) $\lambda(v, \lambda(w,x)) = \lambda(v+w,x)$

3) $\forall x,y \in X: \exists ! v \in V: \lambda(v,x) = y$

Las siguientes son entonces ciertamente equivalentes:

(1) $Y \leq_a X$

(2) Existe un subespacio $W \leq V$ tal que $Y$ i sobre $W$ bajo la acción de la izquierda $\lambda \vert_{W \times Y}^Y: W \times Y \to Y: (w,y) \mapsto \lambda(w,y)$

Answer 1

El error está en la reclamación:

$y+\sum_ia_i(y_i-y)=\lambda\left(\sum_i a_i(y_i -y),y\right)$

El primer parámetro de $\lambda$ debe ser un elemento de $W$ mientras que el término $\sum_i a_i(y_i -y)$ está en $Y$ .

Como contraejemplo, consideremos una línea curva en el plano, vista como un espacio afín a través de su parametrización. Por ejemplo, la gráfica de una parábola $$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2,\quad f(t)=(t,t^2)$$ equipado con la acción $$\lambda:\mathbb{R}\times f(\mathbb{R})\to f(\mathbb{R}),\quad \lambda(s,f(t)) = f(t+s)$$ satisface sus requisitos 1)-3).