Tirachinas gravitacional de luz mediante un agujero negro/objeto masivo

Question

Wikipedia tiene esta página sobre ayudas por gravedad usando planetas. En algunos casos, este efecto se utilizó para acelerar la nave espacial a mayor velocidad. Este diagrama lo muestra de forma muy demasiado simplificado manera.

Eso me hizo pensar que si la luz se ve afectada por la gravedad, y si se lanza en honda alrededor del agujero negro/objeto masivo, ¿no puede adquirir una velocidad mayor que $c$ ?

¿Qué limitaciones se lo impiden?

Perdóneme si la respuesta a esta pregunta es bastante directa o del tipo "te miro a la cara". Aún no he entendido del todo la mecánica de la honda gravitatoria, pero no podía esperar a preguntar esto.

Nota: Si es posible (¡lo dudo mucho!), podrías dar una explicación utilizando la mecánica newtoniana, no estoy muy familiarizado con la relatividad general porque estoy en el instituto.

Answer 1

Bonita idea, +1. Vamos a pensar en donde el impulso de la honda de $2u$ viene de. En el marco del centro de masa, la simetría garantiza que la partícula de prueba sale con una velocidad igual a la velocidad con la que entró. Si se establece esto de modo que la desviación sea de casi 180 grados, entonces el problema se vuelve unidimensional, de modo que en el marco del centro de masa, las velocidades de entrada y salida son $v$ y $-v$ . Ahora cambiemos a otro marco, como el marco del sol. Esto implica añadir $u$ a todas las velocidades, por lo que las velocidades de entrada y salida se convierten en $v+u$ y $-v+u$ . La diferencia de velocidad es $2u$ .

Pero esta derivación suponía que las velocidades se suman linealmente cuando cambias de sistema de referencia, lo cual es una aproximación no relativista. Relativísticamente, las velocidades se combinan no como $u+v$ pero como $(u+v)/(1+uv)$ (en unidades donde $c=1)$ . Si pones $v=1$ el resultado para la velocidad combinada es siempre 1.

Este es un caso curioso en el que podemos obtener la respuesta a un problema gravitatorio puramente a través de la relatividad especial. Nos puede preocupar que la respuesta basada en la SR sea errónea, porque realmente necesitamos la GR para la gravedad. Pero podemos obtener la misma respuesta a partir de la RG, ya que la RG dice que una partícula de prueba siempre sigue una geodésica, y una geodésica semejante a la luz siempre permanece semejante a la luz. La razón por la que la SR funciona es que un observador podría observar una porción de espacio plano lejos del agujero negro, observar un paquete de ondas de luz que pasa a través de esa porción en su camino hacia el agujero negro, y luego observarlo de nuevo en su camino de vuelta. Puesto que la zona es plana, la RS funciona.

El argumento del parche también justifica el uso de la ecuación SR para el desplazamiento Doppler con el fin de encontrar el efecto sobre la energía y el momento de la onda dispersa. Este efecto se produce sin cambio de velocidad. El agujero negro retrocede, y la energía-momento total se conserva.

Answer 2

La mecánica newtoniana está descartada, pero al menos puedo explicarlo sin usar la relatividad general de nivel universitario. Al mismo tiempo, estoy bastante seguro de la respuesta.

La mecánica interna del agujero negro es, en efecto, difícil. Pero si se piensa en ello, básicamente podemos trazar una frontera del sistema alrededor del agujero negro. En realidad, su influencia gravitatoria es eterna, pero utilizaremos la aproximación de la esfera de influencia. Una vez que el fotón se aleja lo suficiente, básicamente ya no se ve afectado por el agujero negro.

Eso significa que el agujero negro sólo actúa como un espejo en lo que a nosotros respecta. Para ver esto, tenemos que considerar el caso de un agujero negro estacionario, y ajustar esto mediante transformaciones del marco de referencia.

En el marco de referencia del agujero negro, no hay desplazamiento de frecuencia del fotón entre la entrada y la salida. Sólo se transfiere el momento. A medida que el fotón se acerca a la órbita circular, su energía ha aumentado mucho, pero devolverá esta energía al pozo gravitatorio al salir. Es como bajar una colina y volver a subirla. Para convencerte de que la energía del fotón no cambia desde que entra hasta que sale, argumentaré que la energía cinética del agujero negro no cambia. Como estamos en el marco de referencia del agujero negro, su velocidad es cero. Con un cambio diferencial en la velocidad, $v^2$ será efectivamente cero. Podemos utilizar la lógica inversa suponiendo que el fotón sí transfiere energía, y mostrar una contradicción. Puesto que el agujero negro no gana energía cinética, si la energía del fotón cambiara, eso debería manifestarse en alguna propiedad del agujero negro. Pero no hay ninguna propiedad sujeta a cambio. Los procesos de entrada y salida son simétricos en el tiempo, por lo que la masa en reposo del agujero negro no puede haber cambiado.

Espero haberte convencido de que este agujero negro funciona de forma idéntica a un espejo.

Con esa información, podemos simplemente aplicar el Doppler relativista efecto.

$$1 + z=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{U^2}{c^2}}}$$

Esta ecuación describe el factor de corrimiento al rojo relativista, $z$ de un fotón cuando se transfiere de un sistema de referencia a otro que se mueve a cierta velocidad relativa (en la misma dirección que el movimiento del fotón). Debemos aplícalo dos veces porque el agujero negro es un marco de referencia en movimiento. Aquí está mi descripción de la secuencia de eventos:

• El fotón se mueve hacia el agujero negro en el marco de laboratorio con frecuencia inicial $f_1$
• El agujero negro observa la frecuencia del fotón como $f_1'$ desplazado por $U$ en su sistema de referencia
• El agujero negro emite fotones a la misma frecuencia en su sistema de referencia, formalmente $f_1'=f_2'$
• El marco del laboratorio observa un $f_2$ que es $f_2'$ desplazado por $U$

Esto sería cierto para cualquier espejo que se mueva a velocidad relativista. La situación que has descrito es sólo un espejo de fantasía. No tengo sus números, pero para cerrar, voy a dar esta ecuación (a partir de la definición de factor de corrimiento al rojo):

$$1+z = \frac{f'}{f}$$

Puede que tenga que pensar un poco más en el signo de $U$ en aplicaciones aquí. Básicamente, aplicar estas ecuaciones de tal manera que $f_1'<f_1$ y $f_2'>f_2$ .