¿qué podemos decir sobre $f(x)= |\cos x| + |\sin x|$

Question

Si la función $f:\mathbb R \to [0,2]$ se define por $f(x)= |\cos x| + |\sin x|$ puis

1. $f$ es uno

2. $f$ está en

3. $f$ es diferenciable en $\mathbb R$

4. El valor mínimo de $f$ est $1$ .

Contrarresté la opción 3 con el hecho de que $f (x)$ no es diferenciable en $x=\pi$ por lo que no es diferenciable en $\mathbb R$ .

Contrarresté la opción 4 con la desigualdad que $|\cos x|+|\sin x|\ge|\cos x +\sin x | \ge \sqrt{2}$ por lo que el valor mínimo es $\sqrt{2}$

Tengo dudas a la hora de decidir entre las opciones 1 y 2. Y también cual es la opción correcta gracias. Btw libro dice que la respuesta es la opción 4

Answer 1

• Desde $\cos$ y $\sin$ son periódicas con el mismo período, también lo es $f$ Así que $f$ ser uno a uno está fuera de cuestión. Debería ser fácil ver que $1$ es falso.
• El segundo punto es falso porque $f(x)$ no puede alcanzar $0$ en cualquier valor de $x$ .
• Tu respuesta para 3 es correcta.
• Su respuesta para $4$ es incorrecto. Su desigualdad, $\cos x + \sin x \geq \sqrt 2$ no es cierto en absoluto. Por ejemplo, $\cos 0 + \sin 0 = 1 < \sqrt 2.$

Answer 2

1. falso, porque $f(0)=f(\pi)=1$

2. false. si existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $|\cos(x)|+|\sin(x)|=0 $ entonces

$\cos(x)=\sin(x)=0 \Rightarrow \cos^2(x)+\sin^2(x)=0$ . ¡Absurdo!

3. falso.

$f'(0) = \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(t)-f(0)}{t} = \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{|\cos(t)|+|\sin(t)|-1}{t}$

Pero

$\displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{|\cos(t)|+|\sin(t)|-1}{t}= \displaystyle\lim_{t\to0^+}\frac{\cos(t)+\sin(t)-1}{t} \stackrel{L'h}{=} \displaystyle\lim_{t\to0^+}(-\sin(t)+\cos(t)) = 1$

$\displaystyle\lim_{t\to0^-}\frac{|\cos(t)|+|\sin(t)|-1}{t}= \displaystyle\lim_{t\to0^-}\frac{\cos(t)-\sin(t)-1}{t} \stackrel{L'h}{=} \displaystyle\lim_{t\to0^-}(-\sin(t)-\cos(t)) = -1$

Por tanto, el límite no existe.

4. cierto.

$f(0) = |\cos(0)|+|\sin(0)| = 1$ y

$f(x)^2 = \cos^2(x)+2|\sin(x)||\cos(x)|+\sin^2(x) = 1+|\sin(2x)| \ge 1$

Entonces $f(x)\ge 1, \forall x\in\mathbb{R}$ (recuerde que $f(x)\ge 0$ )

Answer 3

1. Una función $f:a \to B$ es 1-1 si $\forall a,b \in A$ , $f(a)=f(b) \implies a=b$

Pero su función es periódica. Usted puede proporcionar fácilmente un ejemplo de contador eligiendo algún valor y luego 'moviendo hacia arriba' la recta numérica por un período completo y mostrando que $f(a)=f(b)$ pero $a \not= b$

2. Una función $f:A \to B$ es sobre significa que: $ \forall b \in B$ $ \exists a \in A$ tal que $f(a)=b$

No existe ningún $x \in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=o$ . Esto demuestra que 2 es falso.

3. Tienes razón.

4. considera f(0): |cos(0)| + |sin(0)| = |1| + |0| = 1 < $\sqrt2$