Estadística Bayesiana: Búsqueda de un estadístico suficiente para una distribución uniforme

Question

El ejemplo: deje $y_1,\dots,y_n \overset{\text{i.i.d.}}\sim U([0,\theta])$ donde $\theta >0$ es desconocido. Encuentre una estadística suficiente para $\theta$ .

Intento de solución:

$$g(y_1,\dots,y_n) = c\quad \text{(constant)}$$

$$P(y_i\mid\theta) = \frac{1}{\theta}\quad \text{ for } 0<y_i<\theta$$

$$P(y_1,\dots,y_n\mid\theta) = \prod_{i=1}^n P(y_i\mid\theta) = \frac{1}{\theta^n}\quad\text{ for } 0<y_1,\dots,y_n<\theta$$

Ahora es cuando me he atascado. He visto este post sobre Estadística suficiente pero sigo atascado. ¿Podría alguien ayudarme a encontrar una estadística suficiente para este problema? (Creo que tal vez tomando la media o el valor máximo de $y_i$ s podría funcionar pero no estoy seguro de cómo hacer el siguiente paso)

Answer 1

Convéncete de que la densidad conjunta que has escrito puede expresarse así:

$$P(y_1,\ldots,y_n\mid\theta)=\begin{cases} \frac1{\theta^n}&\text{if $\max(y_1,\ldots,y_n)\le\theta$}\\ 0&\text{otherwise}\end{cases}\tag{*} $$ Esto significa que la densidad conjunta depende de $y_1,\ldots,y_n$ sólo a través de $T(y):=\max(y_1,\ldots,y_n)$ . Por el criterio de factorización, $T(Y_1,\ldots,Y_n) = \max(Y_1,\ldots,Y_n) =: Y_{(n)}$ es una estadística suficiente para $\theta$ .

Para que (*) parezca más una función, siga la sugerencia de @BruceET y utilice funciones indicadoras. Puesto que cada $y_i$ es inferior a $\theta$ si y sólo si el máximo de ellos es menor que $\theta$ tenemos: $$ P(y_1,\ldots,y_n\mid \theta)=\frac1{\theta^n}\prod_{i=1}^nI_{[0,\theta]}(y_i) =\frac1{\theta^n}I_{[0,\theta]}(\max_iy_i) =\frac1{\theta^n}I_{[0,\theta]}(T(y)) $$

Aparte: No hay nada bayesiano en este cálculo.

Answer 2

En el mejor de los casos, me parece irritante utilizar el mismo símbolo para referirse tanto a la variable aleatoria como al argumento de la función de densidad. Podemos entender cosas como $\Pr(Y\le y) = (\text{a certain function of } y)$ porque el capital $Y$ y minúsculas $y$ significan dos cosas diferentes.

Escribe la densidad así y mira a ver si puedes hacer algo con eso: $$ f_{Y_1,\ldots,Y_n}(y_1,\dots,y_n\mid\theta) = \prod_{i=1}^n P(y_i\mid\theta) = \begin{cases} 1/\theta^n & \text{if } \max\{y_1,\ldots,y_n\}\le\theta, \\ 0 & \text{if } \max\{y_1,\ldots,y_n\} >\theta, \end{cases} $$