Perfil de la brana D7

Question

Tengo una duda sobre la ecuación diferencial que conduce al perfil de una brana d7 incrustada en un espacio de 10 dimensiones. Según http://arxiv.org/abs/hep-th/0306018 , ecuación (6), tenemos el comportamiento asintótico de la solución de empotramiento. ¿Puede comentar cómo han llegado los autores a esa conclusión? ¿Existe alguna forma general de analizar el comportamiento asintótico de una EoM como la (5)? Gracias de antemano.

Answer 1

Realmente no hay ninguna complicación en llegar a la ecuación (5) dada la ecuación (5).

Tenemos:

$$\frac{d}{d\rho}\left[\frac{\rho^3}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2}}\frac{dy_6}{d\rho}\right]=0.$$ Resolvemos esta ecuación diferencial. $$\frac{\rho^3}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2}}\frac{dy_6}{d\rho}=\tilde{c}$$ $\tilde{c}$ siendo una constante de integral. Elevando al cuadrado ambos lados y reordenando:

$$\left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2=\frac{\tilde{c}^2}{\rho^6-\tilde{c}^2}$$ En el límite $\rho\to\infty$ podemos descuidar $\tilde{c}^2$ en el denominador y tenemos:

$$\frac{dy_6}{d\rho}=\frac{\tilde{c}}{\rho^3}$$

que podemos integrar para obtener:

$$y_6=m-\frac{2\tilde{c}}{\rho^2}$$ siendo m otra constante de integración. Redefinir $-2\tilde{c}\to c$ y obtenemos la ecuación (6) del documento.