Tengo una duda sobre la ecuación diferencial que conduce al perfil de una brana d7 incrustada en un espacio de 10 dimensiones. Según http://arxiv.org/abs/hep-th/0306018 , ecuación (6), tenemos el comportamiento asintótico de la solución de empotramiento. ¿Puede comentar cómo han llegado los autores a esa conclusión? ¿Existe alguna forma general de analizar el comportamiento asintótico de una EoM como la (5)? Gracias de antemano.
Respuesta
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Realmente no hay ninguna complicación en llegar a la ecuación (5) dada la ecuación (5).
Tenemos:
$$ \frac{d}{d\rho}\left[\frac{\rho^3}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2}}\frac{dy_6}{d\rho}\right]=0. $$ Resolvemos esta ecuación diferencial. $$ \frac{\rho^3}{\sqrt{1+\left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2}}\frac{dy_6}{d\rho}=\tilde{c} $$ $\tilde{c}$ siendo una constante de integral. Elevando al cuadrado ambos lados y reordenando:
$$ \left(\frac{dy_6}{d\rho}\right)^2=\frac{\tilde{c}^2}{\rho^6-\tilde{c}^2} $$ En el límite $\rho\to\infty$ podemos descuidar $\tilde{c}^2$ en el denominador y tenemos:
$$ \frac{dy_6}{d\rho}=\frac{\tilde{c}}{\rho^3} $$
que podemos integrar para obtener:
$$ y_6=m-\frac{2\tilde{c}}{\rho^2} $$ siendo m otra constante de integración. Redefinir $-2\tilde{c}\to c$ y obtenemos la ecuación (6) del documento.
