Haz tangente holomorfo sobre línea proyectiva

Question

Sé que el haz tangente holomorfo a la recta proyectiva compleja $T^{1,0}\mathbb{CP}^1$ es isomorfo a $\mathcal{O}(2)$ es decir, el producto tensorial doble del haz de hiperplanos de $\mathbb{CP}^1$ .

Question cómo identifico bajo esta correspondencia los campos vectoriales holomorfos globales como secciones de este $\mathcal{O}(2)$ ?

Configurar el isomorfismo entre estos haces de líneas se puede ver dando $\mathbb{CP}^1$ el atlas homogéneo dado por $$U_0=\{z_0\neq 0\}\ni (z_0:z_1) \mapsto \frac{z_1}{z_0}=z \in \mathbb{C}$$ $$U_1=\{z_1\neq 0\}\ni (z_0:z_1) \mapsto -\frac{z_0}{z_1}=w \in \mathbb{C}$$ por lo que el cambio de coordenadas de $z$ a $w$ lee $-\frac{1}{z}$ y el jacobiano, que da las funciones de transición para $T^{1,0}\mathbb{CP}^1$ es $$g_{01}(z) = \frac{1}{z^2} \equiv \left(\frac{z_0}{z_1}\right)^2$$ Esta es precisamente la función de transición de $\mathcal{O}(2)$ ¡!

Ya sé que las secciones holomorfas globales corresponden a polinomios homogéneos en dos variables $$H^0(\mathbb{CP}^1,\mathcal{O}(2))\simeq \langle Z_0^2, Z_0Z_1, Z_1^2\rangle$$ Que yo sepa, los "derivados" $\frac{\partial}{\partial z},\frac{\partial}{\partial w}$ dan campos vectoriales holomorfos globales sobre $\mathbb{CP}^1$ . Pero, ¿cuál es el tercer campo vectorial holomorfo global? ¿Cómo puede ser linealmente independiente de estos campos derivados?

Answer 1

$\newcommand{\dd}{\partial}$ En el $z$ -todo campo vectorial holomorfo tiene la forma $$X = (a_{0} + a_{1}z + a_{2}z^{2}) \frac{\dd}{\dd z}.$$ Desde $z = \dfrac{1}{w}$ donde ambas coordenadas son distintas de cero, tenemos $$\frac{\dd}{\dd w} = \frac{\dd z}{\dd w}\, \frac{\dd}{\dd z} = -\frac{1}{w^{2}}\, \frac{\dd}{\dd z} = -z^{2}\, \frac{\dd}{\dd z}$$ en el solapamiento, y por tanto $$X = -(a_{0}w^{2} + a_{1}w + a_{2}) \frac{\dd}{\dd w}.$$ En otras palabras, el espacio de los campos vectoriales holomorfos está abarcado por $$\frac{\dd}{\dd z} = -w^{2}\, \frac{\dd}{\dd w},\qquad z\, \frac{\dd}{\dd z} = -w\, \frac{\dd}{\dd w},\qquad z^{2}\, \frac{\dd}{\dd z} = -\frac{\dd}{\dd w}.$$