Un rey tiene n hijos, al menos uno de ellos es una hija. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean hijas?

Question

Un rey tiene n hijos, al menos uno de ellos es una hija. ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean hijas?

Hasta ahora he considerado el caso de 3 hijos, que da una probabilidad de 1/7. Pero estoy confundido acerca de cómo generalizar esto?

Answer 1

El espacio muestral tiene $2^n$ puntos equi probables, asumiendo que P(niño) = P(niña) = $\frac12$

El conocimiento de que hay al menos una niña implica que un resultado en particular está descartado.

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Answer 2

Suponiendo que la probabilidad de que un niño sea una niña es 1/2, lo cual no es del todo cierto biológicamente pero está cerca ...

Cada niño es niño o niña. (Una idea antigua, pero me quedo con ella). Entonces, con n niños hay 2^n posibilidades.

Si "éxito" se define como todas niñas, entonces eso es exactamente 1 de las combinaciones posibles. Entonces, ignorando el requisito de "al menos una niña" por el momento, la probabilidad de que todas sean niñas es 1 / 2^n. Por ejemplo, con 1 niño, 1/2; con 2 niños, 1/4; 3 niños, 1/8; 4 niños, 1/16; etc.

Pero no queremos considerar todas las posibilidades, sino solo aquellas donde al menos un niño sea una niña. Entonces el denominador no debería ser 2^n, sino solo aquellos donde al menos uno de los niños sea una niña. Sin embargo, este es un caso especial fácil: así como hay solo una forma para que todas las niños sean niñas, hay solo una forma de que ninguno de los niños sea niña: todos deben ser niños. De las 2^n combinaciones posibles, el número que incluye al menos una niña es 2^n-1.

Entonces la probabilidad es 1 / (2^n-1). Por ejemplo, 2 niños, 1/3; 3 niños, 1/7; 4 niños, 1/15; etc. Tenga en cuenta que si hay solo un niño, esta fórmula da 1/1=100%, lo cual tiene sentido: si solo tiene un niño, y al menos uno de ellos es una niña, entonces ese niño debe ser una niña y son "todas" niñas.

** Actualización **

Vale, al parecer hay un punto poco claro aquí.

Si hay dos niños, eso da 2^2=4 posibilidades: BB, BG, GB y GG. Tenga en cuenta que solo hay una forma de tener todos niños o todas niñas, pero 2 formas de tener un niño y una niña. Entonces, considerando todos los casos, no solo aquellos donde al menos un niño sea una niña, la probabilidad de todos niños es 1/4, todas niñas es 1/4, y uno de cada uno es 2/4 = 1/2.

De manera similar, con 3 niños, las posibilidades son BBB, BBG, BGB, BGG, GBB, GBG, GGB, GGG. La probabilidad de todos niños es 1/8, todas niñas es 1/8, 1 niño y 2 niñas es 3/8, y 2 niños y 1 niña es 3/8. Es decir, hay más de una forma de tener dos niños y una niña, la niña podría ser la primera, segunda o tercera, pero solo hay una forma de tener todos niños o todas niñas.

Answer 3

Sea $X$ el número de hijas entre los $n$ descendientes.   Suponiendo que la probabilidad de que un hijo sea una hija es de $1/2$, entonces la cuenta tendrá una distribución binomial: $X\sim\mathcal{Bin}(n, 1/2)$

$$\mathsf P(X=x\mid X\geq 1) = \dfrac{\mathsf P(X=x)}{1-\mathsf P(X=0)}\;\big[x\in\{1..n\}\big]$$

Donde $\mathsf P(X=x)=\dbinom{n}{x}{\big(\frac{1}{2}\big)}^n\;\big[x\in\{0..n\}\big]$

Por lo tanto, $\mathsf P(X=n\mid X\geq 1) $ $= \frac{{\big(\frac{1}{2}\big)}^n}{1-{\big(\frac{1}{2}\big)}^n} \\ = \frac{1}{2^n-1}$

Lo cual, como true blue anil ha sugerido, también se puede obtener considerando que de los $2^n$ resultados posibles, $1$ es el evento favorable, y $1$ es el complemento de la condición - "el evento que se puede descartar".

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Nota: $\big[\text{condicional}\big]$ es la notación de Iverson para una función indicadora; con un valor de $1$ cuando la condición es verdadera pero $0$ de lo contrario.

Answer 4

La fórmula apropiada sería 1 /(2^n - 1) asumiendo al menos un hijo.

Arriba estaría el número disponible de resultados buenos que siempre será 1. Porque siempre hay solo una forma de que todos los hijos sean niñas.

Abajo estaría el número total de resultados, que sería 2^n - 1. Hay 2^n posibles combinaciones de hijos; sin embargo, siempre podrás excluir una combinación que es la de todos los niños.

Answer 5

1/(2^(n-1))

Es lo mismo que calcular la probabilidad de una secuencia de lanzamientos de moneda unánimes, excepto que has garantizado uno de los resultados, de ahí el "n-1".

Algunos ejemplos

Él tiene 1 hijo: 1/2^0 = 1. Has garantizado una chica

Él tiene 2 hijos: 1/2^1 = 0.5. Uno es una chica, el otro tiene 1/2 de probabilidad de ir en cualquier dirección.

Él tiene 10 hijos: 1/2^9 = 0.001953125. La misma lógica se aplica que en los otros 2 ejemplos.