Una pregunta sobre variables aleatorias conjuntamente continuas.

Question

Tengo esta pregunta y obtengo la respuesta para ella. Pero realmente quiero saber cómo E(Y)=E(E(Y|X)).

He aquí la pregunta y la respuesta.

Pregunta: Una observación X se toma uniformemente de (0, 1). Entonces, sea Y una observación tomada uniformemente en (X, 1). Hallar E[Y].

Mi trabajo:

$$E[Y] = E[E[Y\mid X]] ~=~ E[(X+1)/2] = (1/2)(1/2+1) = 3/4$$

Answer 1

La cuestión es que $X$ es aquí una variable aleatoria, primero suponemos que está dada (y la tratamos como una constante) y calculamos la expectativa condicional. Al final, promediamos el resultado entre todas las posibilidades de $X$ .

Así que $$\mathsf E(Y|X)=\frac{1}{2}(x+1)$$ y $$\mathsf E(Y)=\mathsf E( \mathsf E(Y|X))=\int_0^1\frac{1}{2}(x+1)dx=\frac{1}{2}(\frac{x^2}{2}+x)\biggr\vert^1_0=\frac{3}{4}$$ Como se ha señalado en los comentarios, se trata de un enfoque estándar denominado ley de la(s) expectativa(s) total(es) (iterada(s)).

Answer 2

Para variables aleatorias conjuntamente continuas , $X,Y$ con funciones de densidad conjuntas, marginales y condicionales: $f_{X,Y}(x,y), f_X(x), f_Y(y), f_{Y\mid X}(y\mid x), f_{X\mid Y}(x\mid y)$ .

$$\begin{align}\mathsf E(\mathsf E(Y\mid X)) &= \int_\Bbb R f_X(x)\left(\int_\Bbb R y~f_{Y\mid X}(y\mid x)\operatorname d y\right)\operatorname d x \\[1ex] & = \iint_{\Bbb R^2} y\, f_{X,Y}(x,y)\operatorname d\, (x,y) \\[1ex] &= \int_\Bbb R y\, f_Y(y)\left(\int_\Bbb R f_{X\mid Y}(x\mid y)\operatorname d x\right)\operatorname dy \\[1ex] &=\int_\Bbb R y~f_Y(y)\operatorname d y \\[1ex] & = \mathsf E(Y) \\[2ex]\Box\qquad\quad\qquad \end{align}$$

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Así que en particular, se le ha dado que $f_X(x)=\mathbf 1_{x\in[0;1]}$ y $f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac 1{1-x}\mathbf 1_{y\in[x;1], x\in[0;1]}$ entonces podría proceder como:

$$\begin{align}\mathsf E(Y)~&=~ \iint_{\Bbb R^2} y f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x)\operatorname d y\operatorname d x \\ &=~ \int_0^1\int_x^1 \frac y{1-x}\operatorname d y\operatorname d x \end{align}$$

Sin embargo, para evite el trabajo de integración utilizamos en su lugar que $U\sim\mathcal U[a;b] \implies \mathsf E(U)=\frac{b+a}2$ lo anterior Ley de la expectativa iterada (o Propiedad de la Torre) y el Linealidad de las expectativas .

$$\begin{align}\mathsf E(Y) ~&=~ \mathsf E(\mathsf E(Y\mid X)) \\[1ex]~&=~\mathsf E(\frac{1+X}{2}) \\[1ex]~&=~ \tfrac 12+\tfrac 12\mathsf E(X) \\[1ex]~&=~ \tfrac 34\\[1ex]\blacksquare\qquad&\end{align}$$