Para variables aleatorias conjuntamente continuas , $X,Y$ con funciones de densidad conjuntas, marginales y condicionales: $f_{X,Y}(x,y), f_X(x), f_Y(y), f_{Y\mid X}(y\mid x), f_{X\mid Y}(x\mid y)$ .
$$\begin{align}\mathsf E(\mathsf E(Y\mid X)) &= \int_\Bbb R f_X(x)\left(\int_\Bbb R y~f_{Y\mid X}(y\mid x)\operatorname d y\right)\operatorname d x \\[1ex] & = \iint_{\Bbb R^2} y\, f_{X,Y}(x,y)\operatorname d\, (x,y) \\[1ex] &= \int_\Bbb R y\, f_Y(y)\left(\int_\Bbb R f_{X\mid Y}(x\mid y)\operatorname d x\right)\operatorname dy \\[1ex] &=\int_\Bbb R y~f_Y(y)\operatorname d y \\[1ex] & = \mathsf E(Y) \\[2ex]\Box\qquad\quad\qquad \end{align}$$
Así que en particular, se le ha dado que $f_X(x)=\mathbf 1_{x\in[0;1]}$ y $f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac 1{1-x}\mathbf 1_{y\in[x;1], x\in[0;1]}$ entonces podría proceder como:
$$\begin{align}\mathsf E(Y)~&=~ \iint_{\Bbb R^2} y f_{Y\mid X}(y\mid x)f_X(x)\operatorname d y\operatorname d x \\ &=~ \int_0^1\int_x^1 \frac y{1-x}\operatorname d y\operatorname d x \end{align}$$
Sin embargo, para evite el trabajo de integración utilizamos en su lugar que $U\sim\mathcal U[a;b] \implies \mathsf E(U)=\frac{b+a}2$ lo anterior Ley de la expectativa iterada (o Propiedad de la Torre) y el Linealidad de las expectativas .
$$\begin{align}\mathsf E(Y) ~&=~ \mathsf E(\mathsf E(Y\mid X)) \\[1ex]~&=~\mathsf E(\frac{1+X}{2}) \\[1ex]~&=~ \tfrac 12+\tfrac 12\mathsf E(X) \\[1ex]~&=~ \tfrac 34\\[1ex]\blacksquare\qquad&\end{align}$$