Expresar $x^5-2x^3+6x^2+1$ como suma de potencias de $x+2$

Question

Encontré esta pregunta en un antiguo examen de cálculo de mi universidad. Es bastante simple:

Express $x^5-2x^3+6x^2+1$ como suma de potencias de $x+2$

Ahora bien, esto parece un problema sencillo (aunque ligeramente molesto desde el punto de vista computacional) de álgebra lineal consistente en tomar las expasiones de $(x+2)^p, p\in [0,5]$ y metiendo los coeficientes en una matriz, así que sospecho que me falta alguna solución más inteligente.

Gracias.

Answer 1

Creo que una forma fácil es construir una ampliación de Taylor en torno a $x=-2$ . Como resultado, debería tener $$9 + 32 (2 + x) - 62 (2 + x)^2 + 38 (2 + x)^3 - 10 (2 + x)^4 + (2 + x)^5$$

Answer 2

He aquí otra manera:

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c} 1 & 0 & -2 & 6 & 0 & 1 \\ \hline 1 & -2 & 2 & 2 & -4 & 9 \\[0.55ex] 1 & -4 & 10 & -18 & 32\\[0.55ex] 1 & -6 & 22 & -62 \\[0.55ex] 1 & -8 & 38 \\[0.55ex] 1 & -10\\[0.55ex] 1 \end{array}$$

Veamos ahora cómo se obtiene la tabla. La primera fila representa los coeficientes del polinomio. Cada número de la columna de la izquierda es el mismo y tiene el mismo valor que el coeficiente situado delante del grado más alto. Ahora bien, como queremos representarlo como suma de potencias de $(x+2)$ nuestra aproximación estará en $x=-2$ . Así que cualquier otro número se obtiene de tal manera que multiplicamos el número que le queda por $x=-2$ y sumarlo al número que está encima.

Así, por ejemplo, para $10$ en la tercera fila tenemos: $(-2) \times (-4) + 2 = 10$ etc.

Ahora usa los valores de la diagonal principal y el polinomio dado será equivalente a:

$$(x+2)^5 - 10(x+2)^4 + 38(x+2)^3 - 62(x+2)^2 + 32(x+2)^1 + 9(x+2)^0$$

Este método se denomina Método/Esquema/División de Horner y, de hecho, representa la división de polinomios.

Answer 3

Sugerencia: Fije $y=x+2$ de modo que $x=y-2$ haz tus cuentas y

Pista 2: Expansión de Taylor.

Answer 4

Sugerencia : Serie Taylor alrededor $x=-2$

¡Tu manera también es buena!

Answer 5

Solución alternativa: Sabes que necesitas $1\cdot (x + 2)^5$ ya que $1$ es el coeficiente delante de $x^5$ . Calcule $$x^5 - 2x^3 + 6x^2 + 1 - 1\cdot(x + 2)^5$$ y deducir cuántos $(x + 2)^4$ que necesitas. Aclara y repite.