Básicamente, su pregunta puede reformularse como sigue
¿Qué es la $$\lim_{\theta\to 0}\sqrt{\frac{1\pm \sqrt{1-\tan^2(\theta)}}{2\tan^2(\theta)}}$$
Para calcularlo, en primer lugar, puesto que $\sqrt{}$ es una función continua, basta con calcular $$\lim_{\theta\to 0}\frac{1\pm \sqrt{1-\tan^2(\theta)}}{2\tan^2(\theta)}$$ y sacar la raíz cuadrada.
Este límite tiene dos posibilidades distintas:
La primera :
Tomando el signo más hace $$\lim_{\theta\to 0}\frac{1+ \sqrt{1-\tan^2(\theta)}}{2\tan^2(\theta)} = \infty$$
lo que tiene sentido porque, como $\theta$ se hace pequeño pero no cero dos de las raíces de tu polinomio se hacen cada vez más grandes.
El segundo :
Podemos introducir una nueva variable $y=\tan(\theta)$ y obtener
$$\lim_{\theta\to 0}\frac{1- \sqrt{1-\tan^2(\theta)}}{2\tan^2(\theta)} = \lim_{y\to 0} \frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2y^2}$$
que puede calcularse fácilmente utilizando L'Hospital o viendo que $$\frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2y^2} = \frac{1-\sqrt{1-y^2}}{2y^2}\cdot\frac{1+\sqrt{1-y^2}}{1+\sqrt{1-y^2}} = \frac{1-(1-y^2)}{2y^2(1+\sqrt{1-y^2})} =\\=\frac{y^2}{2y^2(1+\sqrt{1-y^2})} = \frac{1}{2(1+\sqrt{1-y^2})}$$
