Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equilátero de lado 3. hallar la probabilidad de que su distancia a un vértice sea mayor que 1.

Question

Se escoge al azar un punto interior a un triángulo equilátero de lado 3. hallar la probabilidad de que su distancia a un vértice sea mayor que 1.

Answer 1

Si dibujamos el triángulo equilátero de lado 3 y en cada uno de sus vértices, trazamos circunferencias de radio 1, tenemos que los puntos que cumplen que su distancia al vértice es mayor que 1 son aquellos que se quedan fuera de los círculos trazados (y dentro del triángulo). Por tanto, aplicando la definición de probabilidad de Laplace (casos favorables / casos posibles) tenemos que:

P = P(distancia >= 1) / P(dentro del triángulo) =

= (Área(triángulo) - Área(3 sectores circulares)) / Área(triángulo) =

*= 1 - 3 Área(sector circular) / Área(triángulo)**

El área de un triángulo equilátero de lado a viene dada por (a^2 * √3) / 4. En nuestro caso a = 3, luego

*Área(triángulo) = (9 √3) / 4**

Por otro lado, cada uno de los sectores circulares tiene un ángulo de 60º (igual a los ángulos del triángulo equilátero). Por tanto, el área de cada uno de ellos será el área del círculo, *π r^2, multiplicado por 60º / 360º**. En nuestro caso r = 1, así que

Área(sector circular) = π / 6

Uniendo todo lo anterior, obtenemos que

P = 1 - 3 (π / 6) / ((9 √3) / 4) = 1 - (2π) / (9√3) ≈ 0.596933...