Permutaciones de los elementos y el determinante de una matriz cuadrada

Question

¿De cuántas maneras pueden los elementos $a_{m,n}\in\mathbb{R}$ de una matriz cuadrada $N\times N$ permutarse entre sí de forma que el valor del determinante de la matriz no cambie? Gracias

Answer 1

Hay exactamente $(N!)^2$ permutaciones preservadoras de determinantes. A saber, cada permutación de este tipo se puede lograr mediante...

• permutando las filas arbitrariamente [ $N!$ maneras], entonces

• permutando las columnas, de forma que el signo de la permutación de la columna sea igual al de la permutación de la fila. [ $N!/2$ maneras], entonces

• posiblemente transponiendo la matriz [ $2$ maneras].

Es obvio que todas estas permutaciones conservan el determinante. Ahora voy a demostrar que no hay otros.

Reclamación 1: Sea $M$ ser un $N\times N$ con precisión $N$ cero entradas. Mientras los ceros de $M$ no están en una fila, o no están en una columna, entonces las entradas no nulas se pueden elegir de tal manera que $\det M\neq 0$ .

Prueba: En primer lugar, afirmo que debe existir $N$ entradas distintas de cero en $M$ que están emparejados en filas y columnas diferentes. Esto se puede demostrar con el teorema del matrimonio de Hall. A saber, consideremos un grafo bipartito, cuyo $2N$ Los vértices son las filas y columnas de $M$ de forma que una fila se une a una columna si la entrada en su intersección es distinta de cero. Para cualquier subconjunto $r$ de filas, se puede demostrar que existen al menos $N-\lfloor N/r\rfloor$ columnas unidas al menos a una de esas filas (ya que para no estar unido a una columna, necesita $r$ ceros en esa columna, pero sólo hay $N$ ceros para todos). Se puede demostrar que $N-\lfloor N/r\rfloor\ge r$ excepto en los casos $r=1$ y $r=N$ .
En $r=1$ sabemos que cualquier fila tiene al menos un vecino porque se da el caso de que no todas las entradas cero están en esa fila.
En $r=N$ sabemos que cada columna es adyacente a alguna fila, porque se da el caso de que no todas las entradas nulas están en esa columna.

Una vez que tengamos $N$ entradas en filas y columnas pares diferentes, haga que cada una de esas entradas $1$ y las restantes entradas no nulas de $M$ números reales cuyo valor absoluto es estrictamente menor que $1/N!$ . Puede comprobar que $\det M \neq 0$ utilizando la forma $\det M=\sum_\pi \prod_{i=1}^N M_{i,\pi(i)}$ . En $\pi$ corresponde al $N$ entradas que fueron elegidas para ser $1$ la suma contribuye $+1$ . Para todos los demás $\pi$ los sumandos son demasiado pequeños para anular que $+1$ .

Reclamación 2: Sea $\pi$ ser un $\det$ -permutación preservadora. Entonces $\pi$ debe asignar cada fila de $M$ a una fila o a una columna.

Prueba: Sea $\pi$ sea una permutación tal que exista una fila que $\pi$ no envía a una fila o columna. Sea $M$ sea una matriz con todos los ceros en esa fila. Entonces $\det M=0$ pero utilizando la reivindicación $1$ las entradas no nulas de $M$ puede elegirse de modo que el determinante de la matriz permutada sea distinto de cero. Por lo tanto, $\pi$ no es $\det$ -preservadora.

Reclamación 3: Todos $\det$ -son de la forma descrita.

Prueba: Si $\pi$ es un $\det$ -entonces $\pi$ debe enviar la primera fila de $M$ a una fila o columna de $M$ . En el primer caso, todas las demás filas deben enviarse a filas. A continuación, cada fila puede mezclarse de alguna manera, pero como todas las columnas deben enviarse a columnas, cada fila debe mezclarse de la misma manera (es decir, las filas se mezclan permutando las columnas de $M$ ). La restricción del signo de la permutación de columnas se obtiene observando cuándo $M$ es la matriz de identidad. En el caso de que la primera fila de $M$ se asigna a una columna, se aplica un argumento similar.